Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，BE⊥CD垂足為E，CB平分∠ABE，連接BC

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若cos∠CAB＝，CE＝，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AD=．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)等邊對(duì)等角，以及角平分線的定義，即可證得∠OCB＝∠EBC，則OC∥BE，從而證得OC⊥CD，即CD是⊙O的切線；

（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

證明：（1）連接OC．

∵OC＝OB，

∴∠ABC＝∠OCB，

又∵∠EBC＝∠ABC，

∴∠OCB＝∠EBC，

∴OC∥BE，

∵BE⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）設(shè)AB＝x，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴直角△ABC中，AC＝ABcos∠CAB＝，

∴BC＝＝＝x，

∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠CAB＝∠BCE，

∵∠E＝∠ACB＝90°，

∴△ACB∽△CEB，

∴＝，

∴ ＝ ，

∴x＝，

∴AB＝，BC＝5，

∵△ACB∽△CEB，

∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=

∴BE＝2，

∵OC∥BE，

∴△DOC∽△DBE，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝．