Question

【題目】如圖，的兩直角邊，分別在軸的負(fù)半軸和軸的正半軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若是由沿軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)和點(diǎn)是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是所在直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸交于．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的長(zhǎng)度為．求與之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量的取值范圍，并求取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，理由見(jiàn)解析；（3）s=，時(shí)，最大，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）已知了拋物線上A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（2）首先求出AB的長(zhǎng)，將A、B的坐標(biāo)向右平移AB個(gè)單位，即可得出C、D的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．（3）根據(jù)C、D的坐標(biāo)，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長(zhǎng)實(shí)際是直線BC與拋物線的函數(shù)值的差，可將x=t代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達(dá)式，由此可求出l、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）∵的項(xiàng)點(diǎn)在直線上，

∴可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，

∴點(diǎn)在此拋物線上，

∴，

∴，

∴所求函數(shù)關(guān)系式為：；

（2）在中，，，

∴，

∵四邊形是菱形，

∴，

∵兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，

∴兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

∴點(diǎn)和點(diǎn)在所求拋物線上；

（3）設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，

則，

解得：；

∴．

∵軸，點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為；

則，，

∴

，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．