Question

如圖，△ABC的高AD=4，BC=8，四邊形MNPQ是△ABC中任意一個內接矩形
（1）設MN=x，MQ=y，求y關于x的函數解析式；
（2）設MN=x，矩形MNPQ的面積為y，求y關于x的函數關系式，并求出當MN為多大時，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由四邊形MNPQ是△ABC中任意一個內接矩形，易證得△AMN∽△ABC，然后由相似三角形對應高的比等于相似比，即可求得y關于x的函數解析式；
（2）由（1），可求得MQ的值，然后由矩形的面積公式，即可求得y關于x的函數關系式，然后由二次函數的最值問題，求得當MN為多大時，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為多少．

解答：解：（1）∵四邊形MNPQ是△ABC中一個內接矩形，
∴MN∥BC，MQ⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴四邊形MQDE是矩形，
∴MQ=DE，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AE

AD

=

MN

BC

，
∵△ABC的高AD=4，BC=8，MN=x，MQ=y，
∴

4-y

4

=

x

8

，
解得：y=4-

1

2

x；

（2）∵由（1），可得MN=x，
∴MQ=4-

1

2

x，
∴y=S_矩形MNPQ=MN•MQ=x（4-

1

2

x）=-

1

2

（x-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴當MN為4時，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及二次函數的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．