Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4

3

cm．動點P從點A出發(fā)，沿A→D→C的路線以2cm/s的速度向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，沿C→B的路線以1cm/s的速度向點B運動．若點P、Q同時出發(fā)，當其中有一點到達終點時整個運動隨之結束．設運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，PQ與DC平行？
（2）在整個運動過程中，設△PBQ的面積為S（cm²），求S（cm²）與t（s）之間的函數(shù)關系式；
（3）當點P運動到DC上時，以P為圓心、PD長為半徑作⊙P，以B為圓心、BQ長為半徑作⊙B，問：是否存在這樣的t，使得⊙P與⊙B相切？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得：PA=2t，PD=2-2t，CQ=t，利用當DP=CQ時，PD與CQ平行，求出即可；
（2）根據(jù)當0＜t≤1時，以及當1＜t＜5時，分別求出三角形的底邊與高線從而求出即可；
（3）當兩圓外切時，以及當兩圓內(nèi)切時，分別求出即可．

解答：解：（1）由題意得：PA=2t，PD=2-2t，CQ=t，
∵AD∥BC，
∴當DP=CQ時，PQ與CD平行，
即2-2t=t，
∴t=

2

3

時，PQ∥CD；

（2）作P₁E⊥BC，DH⊥BC，
當0＜t≤1時，
S=

1

2

AB×BQ，
=

1

2

×4

3

×（BC-QC），
=

1

2

×4

3

×（6-t），
=-2

3

t+12

3

，
∵AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4

3

cm．
∴CH=6-2=4，
∴CD=

DH2+CH2

=8；
∵P₁E⊥BC，DH⊥BC，
∴P₁E∥DE，
∴

P 1C

DC

=

P1E

DH

，
∴

8-2(t-1)

8

=

P1E

4 3

，
∴P₁E=5

3

-

3

t，
BQ=6-t，
當1＜t＜5時，
S=

1

2

BQ×P₁E=

3

2

t²-

11

2

3

t+15

3

．

（3）當兩圓內(nèi)切時，連接BP，BP必經(jīng)過切點M，
DP=2t-2，CP=8-（2t-2）=10-2t，BM=BQ=6-t，
∵

NC

CD

=

1

2

，
∴

HC

PC

=

1

2

，
∴CH=5-t，
∴PH=5

3

-

3

t，
∴BH=6-（5-t）=1+t，
∴BP=MP-MB=DP-MB=2t-2-（6-t）=3t-8，
∴BP²=PH²+BH²，
∴（3t-8）²=（5

3

-

3

t）²+（1+t）²，
解得t=

10+4 10

5

或t=

10-4 10

5

（不合題意舍去），
當兩圓外切時，過P₁作P₁M⊥AB，
∴BR+P₁R=BQ+DP₁=6-t+2t-2=t+4，BM=5

3

-

3

t，P₁M=t+1，
則有BP₁²=P₁M²+BM²，即（4+t）²=（5

3

-

3

t）²+（t+1）²，
整理得：t²-12t+20=0，
解得：t=2或t=10（舍去），
∴當t=2時，⊙P與⊙B外切，當t=

10+4 10

5

時，⊙P與⊙B內(nèi)切．

點評：此題主要考查了兩圓相切的性質(zhì)以及三角形面積求法，根據(jù)已知作出正確圖形利用相切兩圓的性質(zhì)得出是解決問題的關鍵