Question

【題目】空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．

（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；

（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）利用舊墻AD的長為10米．（2）見解析.

【解析】

（1）按題意設出AD，表示AB構(gòu)成方程；

（2）根據(jù)舊墻長度a和AD長度表示矩形菜園長和寬，注意分類討論s與菜園邊長之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）設AD=x米，則AB=米

依題意得，＝450

解得x1=10，x2=90

∵a=20，且x≤a

∴x=90舍去

∴利用舊墻AD的長為10米．

（2）設AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米

①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意

得：

S=，0＜x＜a

∵0＜a＜50

∴x＜a＜50時，S隨x的增大而增大

當x=a時，S最大=50a-a2

②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得

S=，a≤x＜50+

當a＜25+＜50時，即0＜a＜時，

則x=25+時，S最大=（25+）2=，

當25+≤a，即≤a＜50時，S隨x的增大而減小

∴x=a時，S最大==，

綜合①②，當0＜a＜時，-（）=＞0

＞，此時，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米

當≤a＜50時，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．

∴當0＜a＜時，圍成長和寬均為（25+）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；

當≤a＜50時，圍成長為a米，寬為（50-）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米．