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【題目】如圖,已知二次函數y=﹣x2+bx+c(b,c為常數)的圖象經過點A(3,1),點C(0,4),頂點為點M,過點A作AB∥x軸,交y軸于點D,交該二次函數圖象于點B,連結BC.

(1)求該二次函數的解析式及點M的坐標;
(2)若將該二次函數圖象向下平移m(m>0)個單位,使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部(不包括△ABC的邊界),求m的取值范圍;
(3)點P是直線AC上的動點,若點P,點C,點M所構成的三角形與△BCD相似,請直接寫出所有點P的坐標(直接寫出結果,不必寫解答過程).

【答案】
(1)

解:把點A(3,1),點C(0,4)代入二次函數y=﹣x2+bx+c得,

解得

∴二次函數解析式為y=﹣x2+2x+4,

配方得y=﹣(x﹣1)2+5,

∴點M的坐標為(1,5)


(2)

解:設直線AC解析式為y=kx+b,把點A(3,1),C(0,4)代入得,

解得

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4,如圖所示,對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F

把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3,則點E坐標為(1,3),點F坐標為(1,1)

∴1<5﹣m<3,解得2<m<4


(3)

解:連接MC,作MG⊥y軸并延長交AC于點N,則點G坐標為(0,5)

∵MG=1,GC=5﹣4=1

∴MC= = ,

把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,則點N坐標為(﹣1,5),

∵NG=GC,GM=GC,

∴∠NCG=∠GCM=45°,

∴∠NCM=90°,

由此可知,若點P在AC上,則∠MCP=90°,則點D與點C必為相似三角形對應點

①若有△PCM∽△BDC,則有

∵BD=1,CD=3,

∴CP= = =

∵CD=DA=3,

∴∠DCA=45°,

若點P在y軸右側,作PH⊥y軸,

∵∠PCH=45°,CP=

∴PH= =

把x= 代入y=﹣x+4,解得y= ,

∴P1 );

同理可得,若點P在y軸左側,則把x=﹣ 代入y=﹣x+4,解得y=

∴P2 );

②若有△PCM∽△CDB,則有

∴CP= =3

∴PH=3 ÷ =3,

若點P在y軸右側,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;

若點P在y軸左側,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7

∴P3(3,1);P4(﹣3,7).

∴所有符合題意得點P坐標有4個,分別為P1 ),P2 ),P3(3,1),P4(﹣3,7)


【解析】(1)將點A、點C的坐標代入函數解析式,即可求出b、c的值,通過配方法得到點M的坐標;(2)點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的,可先求出直線AC的解析式,將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值,即可得到m的取值范圍;(3)由題意分析可得∠MCP=90°,則若△PCM與△BCD相似,則要進行分類討論,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種,然后利用邊的對應比值求出點坐標.

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(2)當點P移動了4秒時,描出此時P點的位置,并求出點P的坐標;

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