Question

已知，矩形ABCO在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，如圖，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3），現(xiàn)將矩形ABCO繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得矩形A′BC′O′，使點(diǎn)O′落在x軸的正半軸上，且AB與C′O′交于點(diǎn)D，求：
（1）點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（2）線段AD的長度；
（3）經(jīng)過兩點(diǎn)O′、C′的直線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）連接BO和BO'，由題意知OA=O'A，從而得出點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（2）先證明Rt△BDC'≌Rt△O'DA，可得C'D=AD=m，再由勾股定理即可求出m的長；
（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)O'、C'的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，先求出點(diǎn)O′，D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求解．

解答：解：（1）連接BO和BO'，由題意知OA=O'A
∴點(diǎn)O'的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）設(shè)AD=m
∵BC'=O'A=1，∠BC'D=∠O'AD=90°，∠BDC'=∠O'DA
∴Rt△BDC'≌Rt△O'DA
∴C'D=AD=m
則DO'=3-m
在Rt△ADO'中，AD²+AO'²=DO'²
∴m²+1²=（3-m）²
解之得：m=

4

3

∴線段AD的長度為

4

3

．

（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)O'、C'的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b
由（1）和（2）得點(diǎn)O'的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

4

3

）
而點(diǎn)O'和D都在這條直線上，∴

0=2k+b 4 3 =k+b

解之得：k=-

4

3

，b=

8

3

∴經(jīng)過點(diǎn)O'、C'的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x+

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題及全等三角形的證明，難度適中，關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式．