Question

【題目】如圖，以AB為斜邊的Rt△ABC的每條邊為邊作三個正方形，分別是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且邊EF恰好經(jīng)過點N．若S3＝S4＝5，則S1+S5＝_____．(注：圖中所示面積S表示相應封閉區(qū)域的面積，如S3表示△ABC的面積)

Answer 1

【答案】5

【解析】

如圖，連接MQ，作MG⊥EC于G，設PC交BM于T，MN交EC于R．證明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共線，由四邊形CGMP是矩形，推出MG＝PC＝BC，證明△MGR≌△BCT（AAS），推出MR＝BT，由MN＝BM，NR＝MT，可證△NRE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝5．

解：如圖，連接MQ，作MG⊥EC于G，設PC交BM于T，MN交EC于R．

∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，

∴∠ABC＝∠MBQ，

∵BA＝BM，BC＝BQ，

∴△ABC≌△MBQ（SAS），

∴∠ACB＝∠MQB＝90°，

∵∠PQB＝90°，

∴M，P，Q共線，

∵四邊形CGMP是矩形，

∴MG＝PC＝BC，

∵∠BCT＝∠MGR＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，

∴∠MRG＝∠BTC，

∴△MGR≌△BCT（AAS），

∴MR＝BT，

∵MN＝BM，

∴NR＝MT，

∵∠MRG＝∠BTC，

∴∠NRE＝∠MTP，

∵∠E＝∠MPT＝90°，則△NRE≌MTP（AAS），

∴S1+S5＝S3＝5．

故答案為：5．