Question

（2012•邯鄲一模）已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（1，0），B （0，5）兩點，該拋物線與x軸的另一交點為C．
（1）求這個拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）在x軸上方的拋物線上有一動點D，其橫坐標為m，設由A、B、C、D組成的四邊形的面積為S．試求S與m的函數關系式，并說明m為何值時，S最大；
（3）P是線段OC上的一動點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解關于b、c的方程組求出b、c的值即可得到拋物線解析式，令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點C的坐標；
（2）①分點D在y軸左邊時，過點D作DE⊥x軸于點E，再用m表示出DE、CE、OE的長度，然后根據S=S_△CDE+S_梯形BDOE+S_△AOB，利用三角形的面積公式與梯形的面積公式列式整理即可；②點D在y軸右邊時，過點D作DE⊥x軸于點E，再用m表示出DE、OE、AE的長度，然后根據S=S_△BOC+S_梯形BOED+S_△ADE，利用三角形的面積公式與梯形的面積公式列式整理即可，根據x的取值范圍結合二次函數的最值問題分別求出S的最大值，然后即可得解；
（3）利用待定系數法求一次函數解析式求出直線BC的解析式，設PH與BC相交于點F，點P的坐標為（x，0）然后表示出PF、HF的長度，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比，分HF：PF=2：3，PF：HF=2：3兩種情況分別列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（1，0），B （0，5）兩點，
∴

-1+b+c=0 c=5

，
解得

b=-4 c=5

，
∴拋物線解析式為y=-x²-4x+5，
令y=0，則-x²-4x+5=0，
解得x₁=1，x₂=-5，
∴點C的坐標為（-5，0）；


（2）①如圖1，點D在y軸左邊時，過點D作DE⊥x軸于點E，
∵點D的橫坐標為m，
∴DE=-m²-4m+5，OE=-m，CE=m-（-5）=m+5，
∴S=S_△CDE+S_梯形BDOE+S_△AOB，
=

1

2

CE•DE+

1

2

（DE+OB）•OE+

1

2

AO•BO，
=

1

2

（m+5）×（-m²-4m+5）+

1

2

（-m²-4m+5+5）×（-m）+

1

2

×1×5，
=

1

2

×5（-m²-4m+5）-

1

2

×5m+

1

2

×5，
=-

5

2

（m²+5m）+15，
=-

5

2

（m²+5m+

25

4

）+

5

2

×

25

4

+15，
=-

5

2

（m+

5

2

）²+

245

8

，
即S=-

5

2

（m+

5

2

）²+

245

8

（-5＜m＜0），
所以，當m=-

5

2

時，S有最大值，最大值為

245

8

；
②如圖2，點D在y軸右邊時，過點D作DE⊥x軸于點E，
∵點D的橫坐標為m，
∴DE=-m²-4m+5，OE=m，AE=1-m，
S=S_△BOC+S_梯形BOED+S_△ADE，
=

1

2

OC•OB+

1

2

（DE+OB）•OE+

1

2

AE•DE，
=

1

2

×5×5+

1

2

（-m²-4m+5+5）×m+

1

2

（1-m）×（-m²-4m+5），
=

1

2

×25+

1

2

×5m+

1

2

（-m²-4m+5），
=-

1

2

（m²-m）+15，
=-

1

2

（m²-m+

1

4

）+

1

8

+15，
=-

1

2

（m-

1

2

）²+

121

8

，
即S=-

1

2

（m-

1

2

）²+

121

8

（0＜m＜1），
所以，當m=

1

2

時，S有最大值，最大值為

121

8

，
∵

245

8

＞

121

8

，
∴當m=-

5

2

時，S有最大值，最大值為

245

8

；

（3）如圖，∵B （0，5），C（-5，0），
∴設直線BC的解析式為y=kx+n，則

n=5 -5k+n=0

，
解得

k=1 n=5

，
∴直線BC的解析式為y=x+5，
設點P的坐標為（x，0），PH與BC相交于點F，
則PF=x-（-5）=x+5，PH=-x²-4x+5，
∴HF=PH-PF=-x²-4x+5-x-5=-x²-5x，
∵直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，
∴HF：PF=2：3或PF：HF=2：3，
即（-x²-5x）：（x+5）=2：3或（x+5）：（-x²-5x）=2：3，
整理得，2x²+13x+15=0或3x²+17x+10=0，
解得x₁=-

3

2

，x₂=-5（舍去）或x₃=-

2

3

，x₄=-5（舍去），
所以，點P的坐標為（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求函數解析式，拋物線與x軸的交點問題，求不規(guī)則圖形的面積，等高的三角形的面積的比等于底邊的比的性質，分類討論的思想，綜合性較強，難度較大，且運算量非常大，需仔細分析并認真計算．