Question

【題目】如圖，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC，AB=3，BC=4，點P為直線EC上的一點，且PQ⊥BC于點Q，PR⊥BD于點R．
（1）①如圖1，當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ= （不需證明）． ②如圖2，當點P為線段EC上的任意一點（不與點E、點C重合）時，其它條件不變，則①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（2）如圖3，當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：圖2中結(jié)論PR+PQ= 仍成立．

證明：連接BP，過C點作CK⊥BD于點K．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BCD=90°，

又∵CD=AB=3，BC=4，

∴BD= =5．

∵S△BCD= BCCD= BDCK，

∴3×4=5CK，

∴CK= ．

∵S△BCE= BECK，S△BEP= PRBE，

S△BCP= PQBC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，

∴ BECK= PRBE+ PQBC，

又∵BE=BC，

∴ CK= PR+ PQ，

∴CK=PR+PQ，

又∵CK= ，

∴PR+PQ= ；

（2）解：過C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，連接BP，

S△BPE﹣S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，

BE=BC為兩個底，PR，PQ 分別為高，圖3中的結(jié)論是PR﹣PQ=

【解析】（1）②連接BP，過C點作CK⊥BD于點K．根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出BD的長，根據(jù)三角形面積相等可求出CK的長，最后通過等量代換即可證明；（2）圖3中的結(jié)論是PR﹣PQ= ．
【考點精析】本題主要考查了三角形的面積和勾股定理的概念的相關(guān)知識點，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．