Question

【題目】已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．點(diǎn)P射線(xiàn)BA上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且BP＝CQ，連接PQ，與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)D．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在射線(xiàn)BA和AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意地移動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段BE，DE，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度保持不變，理由見(jiàn)解析.

【解析】（1）過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，即可構(gòu)成小等邊三角形BPF，再證明△PFD≌△QCD即可求解；

（2）根據(jù)（1）分兩種情況：點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)分別求解即可得出結(jié)論.

解：（1）過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，

∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴BP＝A B＝3，

∵AB＝AC＝BC ，∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°，

∴△PBF是等邊三角形，

∴BF＝FP＝BP＝3，∴FC＝BC－BF＝3，

由題意，BP＝CQ，∴FP＝CQ，

∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC，

又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD，

∴CD＝DF＝ FC＝ ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度保持不變，

分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF，

∵PE⊥BC，∴BE＝EF，

由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，

∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3，

②當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得DE＝3，

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度保持不變.