【題目】已知拋物線y=ax2﹣x+c經過A(﹣2,0),B(0,2)兩點,動點P,Q同時從原點出發(fā)均以1個單位/秒的速度運動,動點P沿x軸正方向運動,動點Q沿y軸正方向運動,連接PQ,設運動時間為t秒
(1)求拋物線的解析式;
(2)當BQ=AP時,求t的值;
(3)隨著點P,Q的運動,拋物線上是否存在點M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請求出t的值及相應點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2-x+2;(2)當BQ=AP時,t=1或t=4;(3)存在.當t=時,拋物線上存在點M(1,1),或當t=時,拋物線上存在點M(﹣3,﹣3),使得△MPQ為等邊三角形.
【解析】
(1)把A(﹣2,0),B(0,2)代入y=ax2-x+c,求出解析式即可;
(2)BQ=AP,要考慮P在OC上及P在OC的延長線上兩種情況,有此易得BQ,AP關于t的表示,代入BQ=AP可求t值.
(3)考慮等邊三角形,我們通常只需明確一邊的情況,進而即可描述出整個三角形.考慮△MPQ,發(fā)現(xiàn)PQ為一有規(guī)律的線段,易得OPQ為等腰直角三角形,但僅因此無法確定PQ運動至何種情形時△MPQ為等邊三角形.若退一步考慮等腰,發(fā)現(xiàn),MO應為PQ的垂直平分線,即使△MPQ為等邊三角形的M點必屬于PQ的垂直平分線與拋物線的交點,但要明確這些交點僅僅滿足△MPQ為等腰三角形,不一定為等邊三角形.確定是否為等邊,我們可以直接由等邊性質列出關于t的方程,考慮t的存在性.
(1)∵拋物線經過A(﹣2,0),B(0,2)兩點,
∴,解得
∴拋物線的解析式為y=-x2-x+2.
(2)由題意可知,OQ=OP=t,AP=2+t.
①當t≤2時,點Q在點B下方,此時BQ=2-t.
∵BQ=AP,∴2﹣t=(2+t),∴t=1.
②當t>2時,點Q在點B上方,此時BQ=t﹣2.
∵BQ=AP,∴t﹣2=(2+t),∴t=4.
∴當BQ=AP時,t=1或t=4.
(3)存在.
作MC⊥x軸于點C,連接OM.
設點M的橫坐標為m,則點M的縱坐標為-m2-m+2.
當△MPQ為等邊三角形時,MQ=MP,
又∵OP=OQ,
∴點M點必在PQ的垂直平分線上,
∴∠POM=∠POQ=45°,
∴△MCO為等腰直角三角形,CM=CO,
∴m=-m2-m+2,
解得m1=1,m2=﹣3.
∴M點可能為(1,1)或(﹣3,﹣3).
①如圖,
當M的坐標為(1,1)時,
則有PC=1﹣t,MP2=1+(1﹣t)2=t2﹣2t+2,
PQ2=2t2,
∵△MPQ為等邊三角形,
∴MP=PQ,
∴t2﹣2t+2=2t2,
解得t1=,t2=(負值舍去).
②如圖,
當M的坐標為(﹣3,﹣3)時,
則有PC=3+t,MC=3,
∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2,
∵△MPQ為等邊三角形,
∴MP=PQ,
∴t2+6t+18=2t2,
解得t1=,t2=(負值舍去).
∴當t=時,拋物線上存在點M(1,1),或當t=時,拋物線上存在點M(﹣3,﹣3),使得△MPQ為等邊三角形.
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【題目】近年來,體育分數(shù)在中招考試中占分比重越來越大,不少家長、考生也越來越重視;某中學計劃購買一批足球、跳繩供學生們考前日常練習使用,負責此次采購的老師從商場了解到:購買7個足球和4條跳繩共需510元;購買3個足球比購買5條跳繩少50元.
(1)求足球和跳繩的單價;
(2)按學校規(guī)劃,準備購買足球和跳繩共200件,且足球的數(shù)量不少于跳繩的數(shù)量的 ,請設計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點B逆時針旋轉90°得到△DBE,DE的延長線恰好經過AC的中點F,連接AD,CE.
(1)求證:AE=CE;
(2)若BC=,求AB的長.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A,C(點A在點C的右側),與y軸交于點B
(1)求點A,B的坐標及直線AB的函數(shù)表達式;
(2)若直線l⊥x軸,且直線l在第一象限內與拋物線交于點M,與直線AB交于點N,求點M與點N之間的距離的最大值,并求出此時點M,N的坐標.
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【題目】已知A(m,2),B(﹣3,n)兩點關于原點O對稱,反比例函數(shù)y=的圖象經過點A.
(1)求反比例函數(shù)的解析式并判斷點B是否在這個反比例函數(shù)的圖象上;
(2)點P(x1,y1)也在這個反比例函數(shù)的圖象上,﹣3<x1<m且x1≠0,請直接寫出y1的范圍.
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【題目】在國家“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多種因素影響下,某企業(yè)的利潤逐年提高,據(jù)統(tǒng)計,該企業(yè)2016年利潤為3億元,2018年利潤為4.32億元,若2019年保持前兩年的年平均增長率不變,該企業(yè)2019年利潤能否超過5億元?
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【題目】直線y=kx+k﹣2經過點(m,n+1)和(m+1,2n+3),且﹣2<k<0,則n的取值范圍是( 。
A. ﹣2<n<0B. ﹣4<n<﹣2C. ﹣4<n<0D. 0<n<﹣2
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【題目】某品牌手機去年每臺的售價y(元)與月份x之間滿足函數(shù)關系:y=﹣50x+2600,去年的月銷量p(萬臺)與月份x之間成一次函數(shù)關系,其中1﹣6月份的銷售情況如下表:
月份(x) | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 |
銷售量(p) | 3.9萬臺 | 4.0萬臺 | 4.1萬臺 | 4.2萬臺 | 4.3萬臺 | 4.4萬臺 |
(1)求p關于x的函數(shù)關系式;
(2)求該品牌手機在去年哪個月的銷售金額最大?最大是多少萬元?
(3)今年1月份該品牌手機的售價比去年12月份下降了m%,而銷售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月份,經銷商決定對該手機以1月份價格的“八折”銷售,這樣2月份的銷售量比今年1月份增加了1.5萬臺.若今年2月份這種品牌手機的銷售額為6400萬元,求m的值.
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【題目】如圖所示,某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED,從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°,旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米,梯坎坡長BC是12米,梯坎坡度i=1:,則大樓AB的高度約為( 。ň_到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4
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