在平面直角坐標系XOY中,直線l1過點A(1,0)且與y軸平行,直線l2過點B(0,2)且與x軸平行,直線l1與直線l2相交于點P.點E為直線l2上一點,反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象過點E與直線l1相交于點F.

(1)若點E與點P重合,求k的值;

(2)連接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍,求E點的坐標;

(3)是否存在點E及y軸上的點M,使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等?若存在,求E點坐標;若不存在,請說明理由.

答案:
解析:

  解:(1)若點E與點D重合,則k=1×2=2;

  (2)當(dāng)k>2時,如圖,點E、F分別在P點的右側(cè)和上方,過E作x軸的垂線EC,垂足為C,過F作y軸的垂線FD,垂足為D,EC和FD相交于點G,則四邊形OCGD為矩形,

  ∵PF⊥PE,

  ∴S△FPEPE·PF=(-1)(k-2)=k2-k+1,

  ∴四邊形PFGE是矩形,

  ∴S△PFE=S△GEF,

  ∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGD-S△OCE·k-(k2-k+1)-k=k2-1

  ∵S△OEF=2S△PEF,

  ∴k2-1=2(k2-k+1),

  解得k=6或k=2,

  ∵k=2時,E、F重合,

  ∴k=6,

  ∴E點坐標為:(3,2);

  (3)存在點E及y軸上的點M,使得△MEF≌△PEF,

 、佼(dāng)k<2時,如圖,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y軸于H,

  

  

  分析:(1)根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy進行解答即可;

  (2)當(dāng)k>2時,點E、F分別在P點的右側(cè)和上方,過E作x軸的垂線EC,垂足為C,過F作y軸的垂線FD,垂足為D,EC和FD相交于點G,則四邊形OCGD為矩形,再求出S△FPEk2-k+1,根據(jù)S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGD-S△OCE即可求出k的值,進而求出E點坐標;

  (3)①當(dāng)k<2時,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y軸于H,由△FHM∽△MBE可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,進而可得出E點坐標;

 、诋(dāng)k>2時,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y軸于Q,△FQM∽△MBE得,,可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,進而可得出E點坐標.

  點評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理,解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)解答.


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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標;
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(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
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