如圖,過點(diǎn)B(4,0)的直線與直線y=x相交于一象限的點(diǎn)A,反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A,若∠OAB=90°;
①求直線AB和雙曲線的解析式;
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②G為雙曲線上一點(diǎn),若SOBG=2,求點(diǎn)G的坐標(biāo);
③在第一象限內(nèi),M是雙曲線上A點(diǎn)右側(cè)(不包括A點(diǎn))的一動(dòng)點(diǎn),連OM交AB于點(diǎn)E,取OB中點(diǎn)C,作∠ECF=90°交AO于點(diǎn)F,當(dāng)M在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)
OF2+BE22EF2
的值是否變化?若不變化請(qǐng)求出它的值,寫出求解過程;若變化,說明理由.
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分析:(1)要求直線AB和雙曲線的解析式,就必須知道點(diǎn)A的坐標(biāo),求點(diǎn)A的坐標(biāo)是關(guān)鍵,利用點(diǎn)A在y=x上及∠OAB=90°在這個(gè)等腰直角三角形中可以求出點(diǎn)A的坐標(biāo)而解析式.
(2)要求雙曲線上的點(diǎn)G的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為a,則G(
4
a
,a),然后代入面積公式就可以求出a的值,從而求出G的坐標(biāo).
(3)要確定
OF2+BE2
2EF2
的值是否變化,就聯(lián)想到把這三條線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中,利用勾股定理來確定這個(gè)式子的值,這就涉及到線段的轉(zhuǎn)化,考慮到利用三角形全等,而在等腰直角三角形中作底邊上的高或中線或頂角的角平分線這是常用的輔助線的作法,所以只要連接AC,問題就可以得到解決了.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過點(diǎn)A作AE⊥OB于E.
∵點(diǎn)A在y=x上,
∴∠AOB=45°,
∵∠OAB=90°,
∴∠OBA=45°,∠AOB=∠OBA,
∴OA=BA,
∴△OAB為等腰直角三角形.
∵AE⊥OB,
∴AE=OE=
1
2
OB=2,
∴A(2,2).
設(shè)雙曲線的解析式為y=
k
x
,
∵點(diǎn)A在雙曲線上,
2=
k
2
,
解得k=4.
∴雙曲線的解析式為:y=
4
x

設(shè)直線AB的解析式為y1=k1x+b,由題意,得
2=2k1+b
0=4k1+b
,
解得:
k1=-1
b=4

設(shè)直線AB的解析式為y1=-x1+4.

(2)設(shè)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為a,則G(
4
a
,a),
4|a|
2
=2

a=±1,
∴G(4,1)或G(-4,-1);
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(3)連接AC,
∵△AOB是等腰直角三角形,
∴∠4=∠5=45°,AC⊥OB,
∴∠ACB=∠3+∠2=90°OC=BC=AC,
∵∠ECF=∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
∴△CFA≌△CEB.
∴AF=BE.
同理可得△CFO≌△CEA.
得AE=OF.
在Rt△AFE中,由勾股定理得
AF2+AE2=EF2
∴BE2+OF2=EF2
OF2+BE2
2EF2
=
1
2

OF2+BE2
2EF2
是定值為
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、三角形全等、特殊圖形輔助線的運(yùn)用,學(xué)生在解答時(shí)要認(rèn)真審題.找到解決問題的突破口.
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8、如圖,過點(diǎn)P畫出射線PM,PN,使PM∥OA,PN∥OB,且射線PM和射線OA,射線PN和射線OB方向分別相同,量一量∠O和∠P,你能得到什么結(jié)論?如果射線PM和射線OA,射線PN和射線OB一組方向相同、另一組方向相反,∠O和∠P又有什么關(guān)系呢?如果兩組方向都相反,∠O和∠P有什么關(guān)系?

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如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A(a,0),B(0,b),且a、b滿足b=
a2-4
+
4-a2
+16
a+2

(1)求直線AB的解析式;
(2)若點(diǎn)M為直線y=mx在第一象限上一點(diǎn),且△ABM是等腰直角三角形,求m的值.
(3)如圖3過點(diǎn)A的直線y=kx-2k交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)P,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,過N點(diǎn)的直線y=
k
2
x-
k
2
交AP于點(diǎn)M,給出兩個(gè)結(jié)論:①
PM+PN
NM
的值是不變;②
PM-PN
AM
的值是不變,只有一個(gè)結(jié)論是正確,請(qǐng)你判斷出正確的結(jié)論,并加以證明和求出其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,過點(diǎn)O、A(1,0)、B(0,
3
)作⊙M,D為⊙M上不同于點(diǎn)O、A的一點(diǎn),則∠ODA的度數(shù)為( 。
A、60°
B、60°或120°
C、30°
D、30°或150°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,過點(diǎn)P(2,
2
)作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)A,交雙曲線y=
k
x
(x>0)于點(diǎn)N,作PM⊥AN交雙曲線y=
k
x
(x>0)于點(diǎn)M,連接AM.已知PN=4.
(1)求k的值;
(2)設(shè)直線MN解析式為y=ax+b,求不等式
k
x
≥ax+b的解集.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,過點(diǎn)A(1,0)的直線與y軸平行,且分別與正比例函數(shù)y=k1x,y=k2x和反比例y=
k3x
在第一象限相交,則k1、k2、k3的大小關(guān)系是
k2>k3>k1
k2>k3>k1

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