Question

【題目】如圖，邊長為a的正方形ABCD中，E、F是邊AD,AB上兩點（與端點不重合），且AE=BF.連接CE,DF相交于點M,

（1）當E為邊AD的中點時，則DF的長為 （用含a的式子表示）

（2）求證：∠MCB+∠MFB=180°.

（3）點M能成為DF的中點嗎？如果能，求出此時CM的長（用含a的式子表示）；如果不能，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析（3）不能

【解析】分析：（1）當E為邊AD的中點時，則F也是AB的中點，在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的長；
（2）首先利用全等三角形的判定方法利用SAS證明△ADF≌△DCE，得到∠ADF=∠DCE，進而得出∠DME=90°，于是得到結論；
（3）假設點M成為DF的中點，利用垂直平分線的性質得到DC=CF，進而得到結論與題意不符．

詳解：(1)∵E為邊AD的中點，

∴F也為邊AB邊的中點，

∴AF=AB=a，

在Rt△ADF中，

AD2+AF2=DF2，

∴DF=；

(2)∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD，

又∵AE=BF，

∴AF=DE，

∵∠CDE=∠A=90°，

∴△ADF≌△DCE，

∴∠ADF=∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠ADF+∠DEC=90°，

∴∠DME=90°，

∴∠MCB+∠MFB=180°；

(3)假設點M成為DF的中點，

∵∠DME=90°，

∴DF⊥CE，

∵M成為DF的中點，

∴CM是DF的垂直平分線，

∴DC=CF，

∵DC=BC≠CF，

∴點M不能成為DF的中點.