【題目】【問題情景】利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法,此方法是我們解決幾何問題的途徑之一.
例如:張老師給小聰提出這樣一個問題:
如圖1,在△ABC中,AB=3,AD=6,問△ABC的高AD與CE的比是多少?
小聰?shù)挠?jì)算思路是:
根據(jù)題意得:S△ABC=BCAD=ABCE.
從而得2AD=CE,∴
請運(yùn)用上述材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題:
(1)【類比探究】
如圖2,在ABCD中,點(diǎn)E、F分別在AD,CD上,且AF=CE,并相交于點(diǎn)O,連接BE、BF,
求證:BO平分角AOC.
(2)【探究延伸】
如圖3,已知直線m∥n,點(diǎn)A、C是直線m上兩點(diǎn),點(diǎn)B、D是直線n上兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段CD中點(diǎn),且∠APB=90°,兩平行線m、n間的距離為4.求證:PAPB=2AB.
(3)【遷移應(yīng)用】
如圖4,E為AB邊上一點(diǎn),ED⊥AD,CE⊥CB,垂足分別為D,C,∠DAB=∠B,AB=,BC=2,AC=,又已知M、N分別為AE、BE的中點(diǎn),連接DM、CN.求△DEM與△CEN的周長之和.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)5+
【解析】分析:(1)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出△ABF和△BCE的面積相等,過點(diǎn)B作OG⊥AF于G,OH⊥CE于H,從而得出AF=CE,然后證明△BOG和△BOH全等,從而得出∠BOG=∠BOH,即角平分線;(2)、過點(diǎn)P作PG⊥n于G,交m于F,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△CPF和△DPG全等,延長BP交AC于E,證明△CPE和△DPB全等,根據(jù)等積法得出AB=AP×PB,從而得出答案;(3)、,延長AD,BC交于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AF⊥BC于F,設(shè)CF=x,根據(jù)Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值,根據(jù)等積法得出AE=2DM=2EM,BE=2CN=2EN, DM+CN=AB,從而得出兩個三角形的周長之和.
同理:EM+EN=AB
詳解:證明:(1)如圖2, ∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴S△ABF=SABCD,S△BCE=SABCD, ∴S△ABF=S△BCE,
過點(diǎn)B作OG⊥AF于G,OH⊥CE于H, ∴S△ABF=AF×BG,S△BCE=CE×BH,
∴AF×BG=CE×BH,即:AF×BG=CE×BH, ∵AF=CE, ∴BG=BH,
在Rt△BOG和Rt△BOH中,, ∴Rt△BOG≌Rt△BOH, ∴∠BOG=∠BOH,
∴OB平分∠AOC,
(2)如圖3,過點(diǎn)P作PG⊥n于G,交m于F, ∵m∥n, ∴PF⊥AC,
∴∠CFP=∠BGP=90°, ∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn),
在△CPF和△DPG中,, ∴△CPF≌△DPG, ∴PF=PG=FG=2,
延長BP交AC于E, ∵m∥n, ∴∠ECP=∠BDP, ∴CP=DP,
在△CPE和△DPB中,, ∴△CPE≌△DPB, ∴PE=PB,
∵∠APB=90°, ∴AE=AB, ∴S△APE=S△APB,
∵S△APE=AE×PF=AE=AB,S△APB=AP×PB,
∴AB=AP×PB, 即:PAPB=2AB;
(3)如圖4,延長AD,BC交于點(diǎn)G, ∵∠BAD=∠B,
∴AG=BG,過點(diǎn)A作AF⊥BC于F,
設(shè)CF=x(x>0), ∴BF=BC+CF=x+2, 在Rt△ABF中,AB=,
根據(jù)勾股定理得,AF2=AB2﹣BF2=34﹣(x+2)2, 在Rt△ACF中,AC=,
根據(jù)勾股定理得,AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2,
∴34﹣(x+2)2=26﹣x2, ∴x=﹣1(舍)或x=1, ∴AF==5,
連接EG, ∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG(DE+CE),
∴DE+CE=AF=5, 在Rt△ADE中,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn), ∴AE=2DM=2EM,
同理:BE=2CN=2EN, ∵AB=AE+BE, ∴2DM+2CN=AB, ∴DM+CN=AB,
同理:EM+EN=AB ∴△DEM與△CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=(DE+CE)+[(DM+CN)+(EM+EN)]
=(DE+CN)+AB=5+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段AB=20,點(diǎn)C在BA的延長線上,點(diǎn)D在直線AB上,AC=12,BD=16,點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn),則AM的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場計(jì)劃用900元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺計(jì)算器,已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的計(jì)算器,出廠價(jià)分別為A種每臺15元,B種每臺21元,C種毎臺25元.
(1)商場同時購進(jìn)兩種不同型號的計(jì)算器50臺,用去900元.
①若同時購進(jìn)A、B 兩種時,則購進(jìn)A、B 兩種計(jì)算器各多少臺?;
②若同時購進(jìn)A、C 兩種時,則購進(jìn)A、C 兩種計(jì)算器各多少臺?;
(2)若商場銷售一臺A種計(jì)算器可獲利5元,銷售一臺B種計(jì)算器可獲利8元,銷售一臺C種計(jì)算器可獲利12元,在同時購進(jìn)兩種不同型號的計(jì)算器方案中,為了使銷售時獲利最多,你選擇哪種方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商販在批發(fā)市場以每包元的價(jià)格購進(jìn)甲種茶葉40包,以每包元的價(jià)格購進(jìn)乙種茶葉60包.
(1)該商販購進(jìn)甲、乙兩種茶葉共需資金______元(用含,的式子表示);
(2)若該商販將兩種茶葉都提價(jià)全部售出,共可獲利多少元(用含,的式子表示)?
(3)若該商販將兩種茶葉都以每包元的價(jià)格全部出售,在這次買賣中該商販?zhǔn)怯是虧損,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|.回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示﹣3和1兩點(diǎn)之間的距離是 ,數(shù)軸上表示﹣2和3的兩點(diǎn)之間的距離是 ;
(2)數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)之間的距離表示為 ;
(3)若x表示一個有理數(shù),則|x﹣2|+|x+3|有最小值嗎?若有,請求出最小值;若沒有,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,把繞AB邊上的點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到交AB于點(diǎn)E,若,則的面積是
A. 3 B. 5 C. 11 D. 6
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【題目】某興趣小組為了了解本校男生參加課外體育鍛煉情況,隨機(jī)抽取本校300名男生進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)整理并繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
課外體育鍛煉情況扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“經(jīng)常參加”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為______;
請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
該校共有1200名男生,請估計(jì)全校男生中經(jīng)常參加課外體育鍛煉并且最喜歡的項(xiàng)目是籃球的人數(shù);
小明認(rèn)為“全校所有男生中,課外最喜歡參加的運(yùn)動項(xiàng)目是乒乓球的人數(shù)約為”,請你判斷這種說法是否正確,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P為邊長為6的正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)(P與B、C不重合),Q在CD上,且CQ=BP,連接AP、BQ,將△BQC沿BQ所在的直線翻折得到△BQE,延長QE交BA的延長線于點(diǎn)F.
(1)試探究AP與BQ的數(shù)量與位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)E是FQ的中點(diǎn)時,求BP的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),在直線AB同側(cè)任作射線OC、OD,使得∠COD=90°
(1)如圖1,過點(diǎn)O作射線OE,當(dāng)OE恰好為∠AOC的角平分線時,另作射線OF,使得OF平分∠BOD,則∠EOF的度數(shù)是__________度;
(2)如圖2,過點(diǎn)O作射線OE,當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時,求出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系;
(3)過點(diǎn)O作射線OE,當(dāng)OC恰好為∠AOE的角平分線時,另作射線OF,使得OF平分∠COD,若∠EOC=3∠EOF,直接寫出∠AOE的度數(shù)
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