【題目】如圖1,已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x 軸交于A(﹣1,0)、B(3,0)兩點,與y 軸交于點C,頂點為D,對稱軸為直線l.

(1)求該二次函數(shù)的表達式;
(2)若點E 是對稱軸l 右側拋物線上一點,且SADE=2SAOC , 求點E 的坐標;
(3)如圖2,連接DC 并延長交x 軸于點F,設P 為線段BF 上一動點(不與B、F 重合),過點P 作PQ∥BD 交直線BC 于點Q,將直線PQ 繞點P 沿順時針方向旋轉45°后,所得的直線交DF 于點R,連接QR.請直接寫出當△PQR 與△PFR 相似時點P 的坐標.

【答案】
(1)

解:將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得 ,解得 ,

∴二次函數(shù)的表達式為y=x2﹣2x﹣3;


(2)

解:設E(m,m2﹣2m﹣3),過點E作EM∥x軸,交AD于點M,(如圖1)

由y=x2﹣2x﹣3=( x﹣1)2﹣4得頂點D(1,﹣4),C(0,﹣3),

,

∴SADE=2SAOC=3,

∵A(﹣1,0)、D(1,﹣4),

∴直線AD為:y=﹣2x﹣2,

∵E(m,m2﹣2m﹣3),

∴M( ,m2﹣2m﹣3),

∴EM= ,

∴SADE ×4×EM=2EM=m2﹣1=3,

解得m=±2(其中m=﹣2舍去),

∴E(2﹣3);


(3)

解:∵C(0,﹣3),D(1,﹣4),

∴直線CD的解析式為:y=﹣x﹣3.

當y=0時,x=﹣3,

故F(0,﹣3),

∴OF=OC=3,

∴∠OFC=45°,即∠PFR=45°.

∵PQ∥BD,

∴∠FPQ≠90°,

∴∠FPR≠45°,

∴當△PQR 與△PFR 相似時:

△PQR∽△FRP,則

點P的坐標是:P1 ,0)、P2(0,0).


【解析】(1)由A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達式;(2)設E(m,m2﹣2m﹣3),過點E作EM∥x軸,交AD于點M,由條件可得△AOC的面積,從而可求得△ADE的面積,利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式,則可用m表示出EM的長,從而可用m表示出△ADE的面積,從而可得到關于m的方程,可求得m的值;(3)由C、D坐標可求得直線CD的解析式,從而可求得F點坐標,可求得OF=OC,可得∠RFP=∠RPQ=45°,由△PQR 與△PFR 相似得到:△PQR∽△FRP 或△PQR∽△FPR,結合相似三角形的對應邊成比例得到點P的坐標.
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達式和三角形的面積,掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題.

練習冊系列答案
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