【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x22x+3與軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求直線AC的解析式,并直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)如圖1,在直線AC的上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直于x軸交AC于點(diǎn)Q,PMBD交AC于點(diǎn)M.

PQM周長(zhǎng)最大值;

當(dāng)PQM周長(zhǎng)取得最大值時(shí),PQ與x軸交點(diǎn)為H,首位順次連接P、H、O、D構(gòu)成四邊形,它的周長(zhǎng)為L(zhǎng),若線段OH在x軸上移動(dòng),求L最小值時(shí)OH移動(dòng)的距離及L的最小值.

(3)如圖2,連接BD與y軸于點(diǎn)F,將BOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的三角形為BOF,BF所在直線與直線AC、直線OC分別交于點(diǎn)G、K,當(dāng)CGK為直角三角形時(shí),直接寫出線段BG的長(zhǎng).

【答案】(1)、y=x+3;(1,4);(2)、PMQ的周長(zhǎng)最大值為;L的最小值為;(3)、或4

【解析】

試題分析:(1)、首先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),利用待定系數(shù)法以及配方法即可解決問(wèn)題.(2)、如圖1中,作DNy軸J交AC于N,直線BD交AC于K.先求出DKN的三邊,再求出PQ的最大值,利用相似三角形的性質(zhì)求出PM、MQ即可解決問(wèn)題.如圖2中,作PEx軸交y軸與E,作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK與x軸交于點(diǎn)O,將OH平移到OH處,此時(shí)四邊形PHOD的周長(zhǎng)最。謩e求出PD,DK,OO即可解決問(wèn)題.(3)、分兩種情形如圖3中,當(dāng)CGK=90°時(shí),作OEGK于E,想辦法求出點(diǎn)G坐標(biāo)即可.如圖4中,當(dāng)CKG=90°時(shí),求出點(diǎn)G坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

試題解析:(1)、對(duì)于拋物線y=x22x+3,令x=0得y=3,點(diǎn)C(0,3), 令y=0得x22x+3=0,解得x=3或1, A(3,0),B(1,0), 設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到, 解得, 直線AC的解析式為y=x+3.y=x22x+3=(x+1)2+4,

頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,4).

(2)、如圖1中,作DNy軸J交AC于N,直線BD交AC于K.

直線AC的解析式為y=x+3,直線BD的解析式為y=y=2x+2, 解得,

點(diǎn)K坐標(biāo)(,),N(1,2), DN=2,DK==,KN==, PMQ中,∵∠PMQ=DKN=定值,

當(dāng)PMQ周長(zhǎng)的最大值時(shí),PQ定值最大,設(shè)P(m,m22m+3)則Q(m,m+3),

PQ=m22m+3m3=m23m=(m+)2+ a=1<0, m=時(shí),PQ的最大值為,

PMQ∽△DKN,得== ==, PM=,MQ=,

∴△PMQ的周長(zhǎng)最大值為++ 如圖2中,作PEx軸交y軸與E,作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK與x軸交于點(diǎn)O,將OH平移到OH處,此時(shí)四邊形PHOD的周長(zhǎng)最。

P(),D(1,4),K(0,), O坐標(biāo)為(,0),PD==,DK==,OH=

OH向左平移個(gè)單位,L的最小值=PD+DK+OH=++

()、如圖3中,當(dāng)CGK=90°時(shí),作OEGK于E,

OA=OC,AOC=90°, ∴∠GCK=GKC=OKE=KOE=45°, OE===

OK=,KC=3 G(, +),

GB==

如圖4中,當(dāng)CKG=90°時(shí),點(diǎn)G(3,),

BG==4

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