【題目】若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形,且其中一個(gè)等腰三角形的底角是另一個(gè)等腰三角形底角的2倍,我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的黃金線,這個(gè)四邊形叫做黃金四邊形.
(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD=DC,對(duì)角線AC,BD都是黃金線,且AB<AC,CD<BD,求四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù);
(2)如圖2,點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)凇袿上找出所有的點(diǎn)D,使四邊形ABCD的對(duì)角線AC是黃金線(要求:保留作圖痕跡);
(3)在黃金四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度數(shù).
【答案】
(1)解:∵在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC是黃金線,
∴△ABC是等腰三角形,
∵AB<AC,
∴AB=BC或AC=BC,
①當(dāng)AB=BC時(shí),
∵AB=AD=DC,
∴AB=BC=AD=DC,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
此種情況不符合黃金四邊形定義,
②AC=BC,
同理,BD=BC,
∴AC=BD=BC,易證得△ABD≌△DAC,△CAB≌△BDC,
∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB,∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA,
且∠DCA<∠DCB,
∴∠DAC<∠CAB
又由黃金四邊形定義知:∠CAB=2∠DAC,
設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°,
則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°,
∴∠DAB=∠ADC=3x°,
而四邊形的內(nèi)角和為360°,
∴∠DAB=∠ADC=108°,∠BCD=∠CBA=72°,
答:四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為108°,72°,108°,72°.
(2)解:由題意作圖為:
(3)解:∵AB=BC,∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BAC=30°,∠ABC=120°,
ⅰ)當(dāng)AC為黃金線時(shí),
∴△ACD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,AC>BC,
∴AD=CD或AD=AC,
當(dāng)AD=CD時(shí),則AB=BC=CD=AD,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,如圖3,此種情況不符合黃金四邊形定義,
∴AD≠CD,
當(dāng)AD=AC時(shí),由黃金四邊形定義知,∠ACD=∠D=15°或60°,
此時(shí)∠BAD=180°(不合題意,舍去)或90°(不合題意,舍去);
ⅱ)當(dāng)BD為黃金線時(shí),
∴△ABD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
①當(dāng)AB=AD時(shí),△BCD≌△BAD,
此種情況不符合黃金四邊形定義;
②當(dāng)AB=BD時(shí),AB=BD=BC=CD,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠CBD=60°,
∴∠A=30°或120°(不合題意,舍去),
∴∠ABC=180°(不合題意,舍去),
此種情況也不符合黃金四邊形定義;
③當(dāng)AD=BD時(shí),設(shè)∠CBD=∠CDB=y°,則∠ABD=∠BAD=(2y)°或 ,
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°,
當(dāng)∠ABD=2y°時(shí),y=40,
∴∠BAD=2y=80°;
當(dāng) 時(shí),y=80,
∴ ;
綜上所述:∠BAD的度數(shù)為40°,80°.
【解析】(1))先由對(duì)角線AC是黃金線,可知△ABC是等腰三角形,分兩種情況:①AB=BC,②AC=BC,第一種情況不成立,②設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°,則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°,∠DAB=∠ADC=3x°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和列等式可得x的值,計(jì)算各角的度數(shù);(2)①以A為圓心,AC為半徑畫弧,交圓O于D1 , ②以C為圓心,AC為半徑畫弧,交圓O于D2 , ③連接AD1、CD1、AD2、CD2;(3)先根據(jù)∠BAC=30°,計(jì)算∠ABC=120°,分情況進(jìn)行討論:ⅰ)當(dāng)AC為黃金線時(shí),則AD=CD或AD=AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及黃金四邊形定義進(jìn)行計(jì)算即可;ⅱ)當(dāng)BD為黃金線時(shí),分三種情況: ①當(dāng)AB=AD時(shí);②當(dāng)AB=BD時(shí),③當(dāng)AD=BD時(shí),分別討論即可.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的弦,點(diǎn)F是DA延長(zhǎng)線的一點(diǎn),AC平分∠FAB交⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CE⊥DF,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半徑.
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【題目】我市重慶路水果市場(chǎng)某水果店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果.已知1千克甲種水果的進(jìn)價(jià)比1千克乙種水果的進(jìn)價(jià)多4元,購(gòu)進(jìn)2千克甲種水果與1千克乙種水果共需20元.
(1)求甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克多少元?
(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲種水果每天銷售量y(千克)與售價(jià)m(元/千克)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系,求y與m之間的函數(shù)關(guān)系;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)甲種水果的售價(jià)定為多少元時(shí),才能使每天銷售甲種水果的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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【題目】如圖,點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,連接CE、CF.
(1)求證:△ABF≌△CBE;
(2)判斷△CEF的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象過點(diǎn)(﹣1,0),頂點(diǎn)為(1,2),則結(jié)論:
①abc>0;②x=1時(shí),函數(shù)最大值是2;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤2c<3b.
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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【題目】寧波軌道交通4號(hào)線已開工建設(shè),計(jì)劃2020年通車試運(yùn)營(yíng).為了了解鎮(zhèn)民對(duì)4號(hào)線地鐵票的定價(jià)意向,某鎮(zhèn)某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了“你認(rèn)為寧波4號(hào)地鐵起步價(jià)定為多少合適”的問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果整理后制成了如下統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖中所給出的信息解答下列問題:
(1)求本次調(diào)查中該興趣小組隨機(jī)調(diào)查的人數(shù);
(2)請(qǐng)你把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)如果在該鎮(zhèn)隨機(jī)咨詢一位居民,那么該居民支持“起步價(jià)為2元或3元”的概率是
(4)假設(shè)該鎮(zhèn)有3萬人,請(qǐng)估計(jì)該鎮(zhèn)支持“起步價(jià)為3元”的居民大約有多少人?
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(4,3)、B(4,1),把△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C.
(1)畫出△A1B1C,直接寫出點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo);
(2)求在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)度.
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【題目】今年我市某公司分兩次采購(gòu)了一批大蒜,第一次花費(fèi)40萬元,第二次花費(fèi)60萬元.已知第一次采購(gòu)時(shí)每噸大蒜的價(jià)格比去年的平均價(jià)格上漲了500元,第二次采購(gòu)時(shí)每噸大蒜的價(jià)格比去年的平均價(jià)格下降了500元,第二次的采購(gòu)數(shù)量是第一次采購(gòu)數(shù)量的兩倍.
(1)試問去年每噸大蒜的平均價(jià)格是多少元?
(2)該公司可將大蒜加工成蒜粉或蒜片,若單獨(dú)加工成蒜粉,每天可加工8噸大蒜,每噸大蒜獲利1000元;若單獨(dú)加工成蒜片,每天可加工12噸大蒜,每噸大蒜獲利600元.由于出口需要,所有采購(gòu)的大蒜必需在30天內(nèi)加工完畢,且加工蒜粉的大蒜數(shù)量不少于加工蒜片的大蒜數(shù)量的一半,為獲得最大利潤(rùn),應(yīng)將多少噸大蒜加工成蒜粉?最大利潤(rùn)為多少?
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,將對(duì)角線AC所在的直線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°)后得直線l,直線l與AD、BC兩邊分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.
(1)求證:△AOE≌△COF;
(2)當(dāng)α=30°時(shí),求線段EF的長(zhǎng)度.
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