【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3cm,P,Q分別從B,A出發(fā)沿BC,AD方向運動,P點的運動速度是1cm/秒,Q點的運動速度是2cm/秒,連接A,P并過Q作QE⊥AP垂足為E.

(1)求證:△ABP∽△QEA;
(2)當運動時間t為何值時,△ABP≌△QEA;
(3)設△QEA的面積為y,用運動時刻t表示△QEA的面積y(不要求考t的取值范圍).(提示:解答(2)(3)時可不分先后)

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD為正方形;

∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°,

∵QE⊥AP;

∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°

∴∠BAP=∠EQA,∠B=∠AEQ;

∴△ABP∽△QEA(AA)


(2)

解:∵△ABP≌△QEA;

∴AP=AQ(全等三角形的對應邊相等);

在RT△ABP與RT△QEA中根據(jù)勾股定理得AP2=32+t2,AQ2=(2t)2

即32+t2=(2t)2

解得t1= ,t2=﹣ (不符合題意,舍去)

答:當t取 時△ABP與△QEA全等


(3)

解:由(1)知△ABP∽△QEA;

=( 2

=( 2

整理得:y=


【解析】本題主要考查的是相似三角形的綜合應用,解答本題主要應用了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理是解題的關鍵.(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可;(2)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理解答即可;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出函數(shù)解析式即可.
【考點精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習冊系列答案
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的條件下,連接OK,過點P軸于點H,點FHB上一點,連接PF,點DPF上,將點F沿x軸正方向平移個單位到點G,連接DG,交PH于點E,若,,求點P坐標.

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