Question

【題目】一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是 45°角三角板△ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC＝4．當(dāng) 30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn) M， N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①MF＝NF；②CF與MN可能相等嗎；③MN 長度的最小值為 2；④四邊形CMFN的面積保持不變； ⑤△CMN面積的最大值為 2．其中正確的個(gè)數(shù)是_________.（填寫序號(hào)）.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)結(jié)論，找到正確的即可．

解：①連接CF，

∵F為AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，

∴AF=BF=CF，CF⊥AB，

∴∠AFM+∠CFM=90°．

∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，

∴∠AFM=∠CFN．

同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，

∴∠A=∠FCN，

在△AMF與△CNF中，

∴△AMF≌△CNF（ASA），

∴MF=NF．

故①正確；

∴②∵F是AB中點(diǎn)，△ABC是等腰直角三角形，
,

當(dāng)M，N分別是AC，BC中點(diǎn)時(shí)，,

CF=MN，故正確；

③連接MN，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，CM=CN，根據(jù)邊長為4知CM=CN=2，此時(shí)MN最小，最小值為，故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CMFN是正方形．

∵△AMF≌△CNF，

∴S△AMF=S△CNF

∴S四邊形CDFE=S△AFC．

故④正確；

⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當(dāng)FM最小時(shí)，FN也最��；

即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，FM最小，此時(shí)，

，

當(dāng)△CMN面積最大時(shí)，此時(shí)△FMN的面積最�。�

此時(shí)S△CMN=S四邊形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，

故⑤正確．