Question

【題目】如圖，已知拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N都在線段AC上時(shí)，連接EN，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），求sin∠ANE的值；
（3）在刻度尺平移過程中，當(dāng)以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： =0，解得x=5或x=﹣3．

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分為（5，0）、（﹣3，0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）

（2）

解：如圖1，作EG⊥AC，垂足為點(diǎn)G．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），

∴OE=4．

∵OA=OC=5，

∴AE=1，∠OAC=45°．

∴AF=FN=2，GE=AEsin45°=

在Rt△EFN中，依據(jù)勾股定理可知NE= = ，

∴sin∠ANE= = =

（3）

解：設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．

將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得： ，

解得k=﹣1，b=5．

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+5．

①當(dāng)MN為邊時(shí)，如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)Q（n， ），

則點(diǎn)P（n+1， ），點(diǎn)N（n，﹣n+5）M（n+1，﹣n+4）．

∵QN=PM

∴ ，解得n=2．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）．

②當(dāng)MN是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3所示：

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），

則N（m，﹣m+5），M（m+1，﹣m+4），

Q（m， ），P（m+1， ）．

∵QN=PM，

∴ ，解得m=2± ．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2+ ，3﹣ ）或（2﹣ ，3+ ）．

綜上所述，以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）

或（2+ ，3﹣ ）或（2﹣ ，3+ ）

【解析】（1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可結(jié)論；（2）先確定出AF=FN=2，GE= ，再利用勾股定理求出NE= ，即可得出結(jié)論；（3）先確定出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+5．再分MN為邊和對(duì)角線兩種情況，建立方程求解即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�