Question

已知拋物線y=x²+（k²-3k-4）x+2k與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求k的值；
（2）在（1）的條件下，若反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象與拋物線y=x²+（k²-3k-4）x+2k從左至右交于Q、R、S三點(diǎn)，且Q的坐標(biāo)（-1，-1），R的坐標(biāo)（

1- 5

2

，-

1+ 5

2

），S的坐標(biāo)（

1+ 5

2

，-

1+ 5

2

），求四邊形AQBS的面積；
（3）在（1）、（2）條件下，在軸下方拋物線y=x²+（k²-3k-4）x+2k上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=2S_△RAB？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，0），由A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得x₁+x₂=0，又由x₁+x₂=-（k²-3k-4），即可求得k的值；
（2）由（1）知A（-

2

，0），B（

2

，0），即可求得AB的長(zhǎng)，又由四邊形AQBS的面積為：S_△AQB+S_△ASB求得答案；
（3）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，由S_△PAB=2S_△RAB，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得即在x軸下方拋物線上不存在點(diǎn)P，使S_△PAB=2S_△RAB．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，0），
∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴x₁+x₂=0，
又x₁+x₂=-（k²-3k-4），
則k²-3k-4=0，
解得k₁=-1，k₂=4，
當(dāng)k=4時(shí)，拋物線為y=x²+8，此時(shí)△=-32＜0，舍去；
當(dāng)k=-1時(shí)，拋物線為y=x²-2，此時(shí)△=8＞0，
則拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
故所求k值為-1；

（2）由（1）知A（-

2

，0），B（

2

，0），
∴AB=2

2

，
則四邊形AQBS的面積為：S_△AQB+S_△ASB=

1

2

AB•|-1|+

1

2

AB•|

5 -1

2

|=

1

2

×2

2

+

1

2

×2

2

×

5 - 1

2

=

10 + 2

2

；

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，
則∵S_△PAB=2S_△RAB，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：2×（-

1+ 5

2

）=-1-

5

，
而-1-

5

＜-2，
∴P點(diǎn)不存在．
即在x軸下方拋物線上不存在點(diǎn)P，使S_△PAB=2S_△RAB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系以及四邊形的面積求解方法等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．