【題目】一般地,我們把半徑為1的圓叫做單位圓,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點O重合,則單位圓與x軸的交點分別為(1,0),(﹣1,0),與y軸的交點分別為(0,1),(0,﹣1).在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)銳角α的頂點與坐標(biāo)原點O重合,α的一邊與x軸的正半軸重合,另一邊與單位圓交于點P(x1,y1),且點P在第一象限.
(1)求x1(用含α的式子表示);y1(用含α的式子表示);
(2)將射線OP繞坐標(biāo)原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與單位圓交于點Q(x2,y2).
①判斷y1與x2的數(shù)量關(guān)系,并證明;
②寫出y1+y2的取值范圍.
【答案】(1)cosα,sinα;(2)①結(jié)論:y1=﹣x2.理由解析;②1<y1+y2≤.
【解析】
(1)如圖作PF⊥x軸于F,QE⊥x軸于E.則OF=OPcosα,PF=OPsinα,由此即可解決問題;
(2)①過點P作PF⊥x軸于點F,過點Q作QE⊥x軸于點E.只要證明△QOE≌△OPF即可解決問題;
②當(dāng)P在x軸上時,得到y1+y2的最小值為1,由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF,四邊形QEFP是直角梯形,PQ=,EF≤PQ,即可推出當(dāng)EF=PQ=時,得到y1+y2的最大值為.
(1)如圖作PF⊥x軸于F,則∠OFP=90°,PF=y1,OF=x1,
在Rt△OFP中,sinα=,cosα=,
∴OF=OPcosα,PF=OPsinα,
又∵OP=1,
∴x1=cosα,y1=sinα;
(2)①結(jié)論:y1=﹣x2.
理由:過點P作PF⊥x軸于點F,過點Q作QE⊥x軸于點E.
∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°,
∴∠POF+∠OPF=90°,∠POF+∠QOE=90°,
∴∠QOE=∠OPF,
∵OQ=OP,
∴△QOE≌△OPF,
∴PF=OE,
∵P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴PF=y1,OE=﹣x2,
∴y1=﹣x2
②當(dāng)P在x軸上時,得到y1+y2的最小值為1,
∵y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF,
∵四邊形QEFP是直角梯形,PQ=,EF≤PQ,
∴當(dāng)EF=PQ=時,得到y1+y2的最大值為,
∴1<y1+y2≤,
故答案為1<y1+y2≤.
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【題目】如圖,已知∠ABC=∠ADC,AB∥CD,E為射線BC上一點,AE平分∠BAD.
(1)如圖1,當(dāng)點E在線段BC上時,求證:∠BAE=∠BEA.
(2)如圖2,當(dāng)點E在線段BC延長線上時,連接DE,若∠ADE=3∠CDE,∠AED=60°,求∠CED的度數(shù).
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【題目】已知:如圖,ABCD是一塊邊長為2米的正方形鐵板,在邊AB上選取一點M,分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板料. 當(dāng)AM的長為何值時,截取兩塊相鄰的正方形板料的總面積最小?
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【題目】已知:如圖,AB為半圓O的直徑,C是半圓O上一點,過點C作AB的平行線交⊙O于點E,連接AC、BC、AE,EB. 過點C作CG⊥AB于點G,交EB于點H.
(1)求證:∠BCG=∠EBG;
(2)若,求的值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一螞蟻從原點出發(fā),按向上、向右、向下的方向依次不斷移動,每次移動1個單位,其行走路線如下圖,則A2019的坐標(biāo)是( )
A.(2019,0)B.(504,0)C.(1009,0)D.(1010,0)
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點,
(1)求證:AC2=ABAD;
(2)求證:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求 的值.
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【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A,且經(jīng)過點B(3,﹣3).
(1)求頂點A的坐標(biāo)
(2)若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個動點,求△OPB的面積的最大值及比時點P的坐標(biāo);
(3)如圖2,將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線,新拋物線與射線OA交于C,D兩點,請問:在拋物線平移的過程中,線段CD的長度是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,△ABC中,P、Q兩點分別是邊AB和AC的垂直平分線與BC的交點,連結(jié)AP和AQ,且BP=PQ=QC.求∠C的度數(shù).
證明:∵P、Q兩點分別是邊AB和AC的垂直平分線與BC的交點,
∴PA= ,QC=QA.
∵BP=PQ=QC,
∴在△APQ中,PQ= (等量代換)
∴△APQ是 三角形.
∴∠AQP=60°,
∵在△AQC中,QC=QA,
∴∠C=∠ .
又∵∠AQP是△AQC的外角,
∴∠AQP=∠ +∠ =60°.(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)
∴∠C= .
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