【題目】平面直角坐標(biāo)系中,是坐標(biāo)原點,拋物線軸于兩點(如圖),頂點是,對稱軸交軸于點

1)如圖(1)求拋物線的解析式;

2)如圖(2)是第三象限拋物線上一點,連接并延長交拋物線于點,連接求證:;

3)如圖(3)(2)問條件下,分別是線段延長線上一點,連接,過點于點,延長,若求點坐標(biāo).

【答案】1;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)設(shè)DA=DB=m,根據(jù)拋物線對稱性和OB=2OA,建立方程求解即可;

2)配方法可求得拋物線頂點坐標(biāo),過點EEHCDG,過FFGCDG,可證明DEH∽△DFG,tanGFC=tanECH,即可證明∠ECF=90°;

3)以DM為邊在x軸上方作正方形DMKT,延長CQKTS,過SSGDMG,連接MT,作∠SCT平分線交MTI,過點IIJCTJ,設(shè)DM=t,則DT=TK=t,易證:MDC≌△CJIMDN≌△SGP,可得:SZ=SL=t-7,CZ=CJ=t,CS=2t-7,利用勾股定理建立方程即可求得點M坐標(biāo),再利用相似三角形性質(zhì)可求得點R坐標(biāo),運用待定系數(shù)法即可求得直線DR解析式,解方程組可求得點F的坐標(biāo).

解:(1)∵拋物線對稱軸為:直線x=1,

D10),由拋物線對稱性知:DA=DB,設(shè)DA=DB=m,

則:A1-m,0),B1+m,0),

OB=2OA

1+m=2m-1),解得:m=3

A-2,0),B4,0),將A-2,0)代入,

解得:;

∴拋物線的解析式為:;

2)如圖2,過點EEHCDH,過FFGCDG

,

∴點C的坐標(biāo)為:(1,),

設(shè)點En,),點Fm),

∴點G為:(1,),點H為:(1,),

EH=1-n,FG=m-1,DG=,DH=,

EHCD,FGCD

∴∠DHE=DGF=90°

∵∠EDH=FDG

∴△DEH∽△DFG,

;

3)如圖3,以DM為邊在x軸上方作正方形DMKT,延長CQKTS,過SSGDMG,連接MT,作∠SCT平分線交MTI,過點IIJCTJ,作ILKTL,作IZSQZ,設(shè)DM=t,則DT=TK=t,

∵正方形DMKT

∴∠DTM=KTM=DMT=45°

∴四邊形TLIJ是正方形,

IJ=TJ=TL

CI平分∠SCT

∴∠JCI=SCT

CQMN

∴∠SCT+MND=NMD+MND=90°

∴∠NMD=SCT

∵∠NMD=2DMC,

∴∠DMC=SCT

∴∠JCI=DMC

∴∠JCI+DTM=DMC+DMT

即∠CIM=CMI

CM=CI

∵∠MDC=CJI=90°

∴△MDC≌△CJIAAS

IJ=CD=3

JT=TL=3

MDNSGP

∴△MDN≌△SGPAAS

DN=PG

DN+BO=MP,MG+PG=MP

MG=BO=4

KS=4

SL=t-7,

易證:SZ=SL=t-7CZ=CJ=t,CS=2t-7

RtCST中,∵ST2+CT2=CS2

∴(t-42+t+32=2t-72,

解得:t1=12,t2=1(不符合題意,舍去)

M-110);

過點RRWDMW,則MRW∽△MCD

MRRC=73

,

,

,

∴點R為:(,),

設(shè)DR直線為,

,解得:,

解析式:

∴解方程組,

解得:,;

∴點E為:(,),點;

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(2)求出這段河的寬(結(jié)果精確到1 m,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73).

       

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