Question

【題目】如圖，已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，

（1）求k的值；

（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍；

（3）過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為224，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）32；（2）x＜﹣4或0＜x＜4；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（﹣7+，14+2）；或P（7+，﹣14+2）．

【解析】

（1）先將x=4代入正比例函數(shù)y=2x，可得出y=8，求得點(diǎn)A（4，8），再根據(jù)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出k的值；

（2）正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值即正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方，根據(jù)圖形可知在交點(diǎn)的右邊正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

（3）由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形，因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即56．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出△POA的面積，由于△POA的面積為56，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=2x上，

∴把x=4代入正比例函數(shù)y=2x，

解得y=8，∴點(diǎn)A（4，8），

把點(diǎn)A（4，8）代入反比例函數(shù)y=，得k=32，

（2）∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣8），

由交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象直接寫(xiě)出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍，x＜﹣8或0＜x＜8；

（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四邊形APBQ是平行四邊形，

∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×224=56，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠4），

得P（m，），

過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，

∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，

∴S△POE=S△AOF=16，

若0＜m＜4，如圖，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=56．

∴（8+）（4﹣m）=56．

∴m1=﹣7+3，m2=﹣7﹣3（舍去），

∴P（﹣7+3，16+）；

若m＞4，如圖，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=56．

∴×（8+）（m﹣4）=56，

解得m1=7+3，m2=7﹣3（舍去），

∴P（7+3，﹣16+）．

<>∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（﹣7+3，16+）；或P（7+3，﹣16+）．