Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；

（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）9（3）相似

【解析】

試題分析：（1）易得c=3，故設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3，根據(jù)拋物線所過(guò)的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；

（2）易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=，代入數(shù)值可得答案；

（3）根據(jù)題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判斷出兩三角形相似．

試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）

根據(jù)題意，得，

解得．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖，設(shè)該拋物線對(duì)稱軸是DF，連接DE、BD．過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．

由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4）

設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F

∴四邊形ABDE的面積=

=AOBO+（BO+DF）OF+EFDF

=×1×3+×（3+4）×1+×2×4

=9；

（3）相似，如圖，

BD=；

∴BE=

DE==

∴BD2+BE2=20，DE2=20

即：BD2+BE2=DE2，

所以△BDE是直角三角形

∴∠AOB=∠DBE=90°，且，

∴△AOB∽△DBE．