Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜邊AB的中點(diǎn)E，易得△BCE是等邊三角形，從而得到“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”利用這個(gè)結(jié)論解決問題：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D（點(diǎn)P不與點(diǎn)A.B重合），作∠DPQ=60°，邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長；

（2）當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t的值為或或

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用結(jié)論可得，可由勾股定理求出AC，在Rt△ADP中，由題意AP=2t，PD=t，用勾股定理可表示出AD，再用DC=AC-AD即可;

（2）分三種情況討論，①當(dāng)PQ的垂直平分線與PQ交于點(diǎn)G，且經(jīng)過AB的中點(diǎn)F時(shí)，易證△PAD≌QPD，△PFG≌PAD，可得PF=AP=2t，而F為AB的中點(diǎn)，利用AP+PF=AB可求t；

②當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過AC的中點(diǎn)M時(shí)，可在Rt△MGQ中，求出MQ，然后利用AM+MQ=2AD可求出t；

③當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過BC的中點(diǎn)N，與AB的延長線交于H點(diǎn)時(shí)，

易證△PHG≌△PAD，則PH=AP=2t，然后利用等角對(duì)等邊得到BH=BN=1，再由AH=AB+BN可求出t.

（1）在Rt△ABC中，利用結(jié)論可得,

∴

在Rt△ADP中，由題意AP=2t，PD=t，

∴，

∴

∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A.B重合，∴

故.

（2）①當(dāng)PQ的垂直平分線與PQ交于點(diǎn)G，且經(jīng)過AB的中點(diǎn)F時(shí)，如圖1，

在△APD和△QPD中，

∴

∴PA=PQ，∠PQD=∠A=30°，AD=QD=

∵GF是PQ的中垂線，∴，

在△APD和△FPG中，

∴

∴PA=PF=2t

∵F為AB中點(diǎn)，∴AF=PA+PF=AB，

即2t+2t=2，解得t=

②當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過AC的中點(diǎn)M時(shí)，如圖2，

由①可知PG=QG=PQ=t，

在Rt△MGQ中，設(shè)MG=x，∵∠MQG=30°，∴MQ=2x

由勾股定理得

即，解得或（舍去）

∴，

∵M為AC的中點(diǎn)，∴AM=AC=，

AM+MQ=2AD，即+=，解得t=

③當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過BC的中點(diǎn)N，與AB的延長線交于H點(diǎn)時(shí)，如圖3，

在Rt△PFG中，，

∵∠ABC=∠H+∠BNH=60°，∴∠BNH=∠H=30°，∴BH=BN==1

同①可證△PHG≌△PAD，∴PH=PA=2t，

由AB+BH=PA+PH=2PA得4+1=4t，解得t=

綜上，當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為或或.