【題目】如圖,將矩形置于平面直角坐標系中,點的坐標為,點在軸上,點在上,將矩形沿折疊壓平,使點落在坐標平面內,設點的對應點為點.若拋物線(且為常數(shù))的頂點落在的內部,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
利用對折的性質,得到線段的關系,用勾股定理建立方程,最后用相似△AFG∽△ABD得到比例式,計算出點G,H的縱坐標即可.
如圖,
過點E作EF⊥AB于F,EF分別與AD、OC交于點G、H,
過點D作DP⊥EF于點P,
則EP=PH+EH=DC+EH=1+EH,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得,
DP2=DE2-PE2=9+(1+EH)2,
∴BF2=DP2=9+(1+EH)2,
在Rt△AEF中,AF=AB-BF=3-,EF=4+EH,AE=4,
∵AF2+EF2=AE2,
即:(3-)2+(4+EH)2=16,
解得EH=1,
∴AB=3,AF=2,E(2,-1).
∵∠AFG=∠ABD=90°,∠FAG=∠BAD,
∴△AFG∽△ABD.
∴,
即:,
∴FG=2.
∴EG=EF-FG=3.
∴點G的縱坐標為2.
∵y=ax2-4ax+10=a(x-2)2+(10-20a),
∴此拋物線y=ax2-4ax+10的頂點必在直線x=2上.
又∵拋物線的頂點落在△ADE的內部,
∴此拋物線的頂點必在EG上.
∴-1<10-20a<2,
∴.
故選B.
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【題目】如圖,已知,,點從點出發(fā),先移動到軸上的點處,再沿垂直于軸的方向向左移動1個單位至點處,最后移動到點處停止.當點移動的路徑最短時 (即三條線段、、長度之和最小),點的坐標為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,已知點D,E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點,作∠DAC的平分線AF,若AF∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形;
(2)作∠ACE的平分線交AF于點G,若∠B=40°,求∠AGC的度數(shù).
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【題目】綜合與探究
如圖1所示,直線y=x+c與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A,C.
(1)求拋物線的解析式
(2)點E在拋物線的對稱軸上,求CE+OE的最小值;
(3)如圖2所示,M是線段OA的上一個動點,過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N
①若以C,P,N為頂點的三角形與△APM相似,則△CPN的面積為 ;
②若點P恰好是線段MN的中點,點F是直線AC上一個動點,在坐標平面內是否存在點D,使以點D,F(xiàn),P,M為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(﹣,)
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【題目】如圖所示,拋物線的頂點為,與軸交于、兩點,且,與軸交于點.
求拋物線的函數(shù)解析式;
求的面積;
能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點,使的面積最大?若能,請求出點的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,已知∠DBC=60°,AC>BC,又△ABC'、△BCA'、△CAB'都是△ABC形外的等邊三角形,而點D在AC上,且BC=DC
(1)證明:△C'BD≌△B'DC
(2)證明:△AC'D≌△DB'A
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【題目】如圖所示,在四邊形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.
(1)連接BC,求BC的長;
(2)求四邊形ABDC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=,D,E分別為AC,AB的中點,BF∥CE交DE的延長線于點F.
(1)求證:四邊形ECBF是平行四邊形;
(2) 當∠A=時,求證:四邊形ECBF是菱形.
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