Question

如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP. 將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得

到△A₁B₁P,連結(jié)AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點(diǎn)E、F.

（1） 如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在  ▲  關(guān)

系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β . 當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△

AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合. 已知AB=4，設(shè)DP=x，△A₁BB₁的面積為

S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

 

Answer 1

【答案】

解: （1） 相似   ………………………………………………………………1分

由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α   AP= A₁P  BP=B₁P

則  ∠PAA₁ =∠PBB₁ = …………………………………2分

∵∠PBB₁ =∠EBF        ∴∠PAE=∠EBF

又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP……………………………………………………………3分

（2）存在，理由如下： ………………………………………………………………4分

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可 ………………………5分

∴∠BAE=∠ABE

∵∠BAC=60°       ∴∠BAE=

∵∠ABE=β   ∠BAE=∠ABE     ……………………………………………6分

∴ 即α=2β+60°     ……………………………………………7分

（3）連結(jié)BD，交A₁B₁于點(diǎn)G，過點(diǎn)A₁作A₁H⊥AC于點(diǎn)H.

∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60° ∴A₁B₁∥AC

由題意得：AP= A₁ P   ∠A=60°

∴△PAA₁是等邊三角形

∴A₁H= ………………………………………………………………8分

在Rt△ABD中，BD=

∴BG=…………………………………… 9分

∴ （0≤x＜2）……………………10分

【解析】略