Question

【觀察發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，若點A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最�。�
作法如下：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P．
（2）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=4，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
作法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為

2

3

．
【實踐運用】
如圖3，菱形ABCD中，對角線AC、BD分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，若點P是BD上的動點，則MP+PN的最小值是

5

．
【拓展延伸】
（1）如圖4，正方形ABCD的邊長為5，∠DAC的平分線交DC于點E．若點P，Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是

5 2

2

；
（2）如圖5，在四邊形ABCD的對角線BD上找一點P，使∠APB=∠CPB．保留畫圖痕跡，并簡要寫出畫法．

Answer 1

分析：【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結(jié)果；
【實踐運用】作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，求出OC、OB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案；
【拓展延伸】（1）過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作D′P′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對稱點，進而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值；
（2）作點C關(guān)于直線BD的對稱點C′，連接AC′并延長交BD于點P，則點P即為所求．

解答：解：【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）∵△ABC是等邊三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴點B與點C關(guān)于直線AD對稱，BE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴BP+PE的最小值=CE=

BC2-BE2

=

42-22

=2

3

．
故答案為：2

3

；

【實踐運用】如圖3，作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M為BC中點，
∴Q為AB中點，
∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=

1

2

AC=3，BO=

1

2

BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案為：5；

【拓展延伸】（1）如圖4，作D關(guān)于AE的對稱點D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關(guān)于AE的對稱點，AD′=AD=4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=25，
∵AP′=P′D'，
2P′D′²=AD′²，即2P′D′²=25，
∴P′D′=

5 2

2

，即DQ+PQ的最小值為

5 2

2

．
故答案為：

5 2

2

；

（2）如圖5所示．
作法：作點C關(guān)于直線BD的對稱點C′，連接AC′并延長交BD于點P，則點P即為所求．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題、勾股定理、作圖與基本作圖等知識點的應用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出P點，題型較好，難度較大．