Question

【題目】在中，，是直線上一點(diǎn)，以為一條邊在右側(cè)作，使，，連接.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長線上移動(dòng)時(shí)，若，則_____.

（2）設(shè)，.

①當(dāng)點(diǎn)在延長線上移動(dòng)時(shí)，與之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)在直線上（不與兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，與之間有什么數(shù)量關(guān)系？

請直接寫出你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ①，理由見解析；②當(dāng)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段延長線或反向延長線上時(shí)，.

【解析】

（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可
②分當(dāng)D在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)三種情況討論，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

解：（1），

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在和中

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，

，

，

，

，

；

（2）①解：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上移動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是，理由是：

，

，

，

在和中

，

，

，

，

，

，，

；

②分三種情況：
i）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，如圖2，α+β=180°，
理由是：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，
∴α+β=180°，

ii）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時(shí)，如圖3，α=β．
如圖3，同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；

iii）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖1，α=β．
綜上，當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動(dòng)時(shí)，α=β或α+β=180°．