Question

如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，），直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合）．
（1）①直接寫(xiě)出c的值；
②求證：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2k+2；
（2）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)y=2kx+b交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C．已知PB=2BC．
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（友情提示：如需要，可以運(yùn)用以下定理：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則有
②求tan∠APB的值．

Answer 1

（1）解：①∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，），
∴，

②證明：設(shè)P（a，），
則
解得a=0（舍去），或a=2k+2，
即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2k+2；

（2）解：①∵P（a，）
依題意：，
∴，
∵PB=2BC，
∴PC=3BC，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是，
∴點(diǎn)B，
依題意
∴，
∴，
解得a=3，
即點(diǎn)P（3，1），
另解：由，可得x²-（4k+2）x-2b-1=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x_B+（2k+2）=4k+2，
∴x_B=2k
∵PB=2BC，∴PC=3BC，∴2k+2=6k，
解得，可知a=3，即點(diǎn)P（3，1），

②由上題可知：直線(xiàn)PB的解析式y(tǒng)=x-2，
∴點(diǎn)C（0，-2），
作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PE=CE=3，
∴，
作AD⊥PC于點(diǎn)D，則AD=CD=，
∴PD=PC-CD=3-=，
在Rt△APD中，．
分析：（1）①將A（0，），帶入函數(shù)解析式求出c的值即可，
②設(shè)P（a，），分別將橫坐標(biāo)a帶入一次函數(shù)與二次函數(shù)求出即可；
（2）①由P（a，）依題意：，用a表示出k，得出PC=3BC，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是，
進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再帶入函數(shù)解析式得出k=a-，即可得出a的值，得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PE=CE=3，即可得出PC的長(zhǎng)，再作AD⊥PC于點(diǎn)D，則AD=CD=，得出PD的長(zhǎng)，在Rt△APD中，即可得出tan∠APB的值．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．