Question

【題目】已知一次函數(shù)y=x+4的圖象與二次函數(shù)y=ax（x﹣2）的圖象相交于A（﹣1，b）和B，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，與二次函數(shù)y=ax（x﹣2）的圖象交于點(diǎn)C．

（1）求a、b的值
（2）求線(xiàn)段PC長(zhǎng)的最大值；
（3）若△PAC為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，b）在直線(xiàn)y=x+4上，

∴b=﹣1+4=3，

∴A（﹣1，3）．

又∵A（﹣1，3）在拋物線(xiàn)y=ax（x﹣2）上，

∴3=﹣a（﹣1﹣2），

解得：a=1．

（2）解：設(shè)P（m，m+4），則C（m，m2﹣2m）．

∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m+4

=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵（m﹣ ）2≥0，

∴﹣（m﹣ ）2+ ≤ ．

∴當(dāng)m= 時(shí)，PC有最大值，最大值為 ．

（3）解：如圖

，

P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），

AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．

①當(dāng)AP2+AC2=PC2時(shí)，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，

3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0

化簡(jiǎn)，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，

解得m=﹣1（不符合題意，舍），m=2，

當(dāng)m=2時(shí)，m+4=6，即P（2，6）；

②當(dāng)AP2=AC2+PC2時(shí)，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，

化簡(jiǎn)，得

（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．

解得m=4（不符合題意，舍），m=﹣1（不符合題意，舍），m=3，

當(dāng)m=3時(shí)，m+4=7，

即（3，7），

綜上所述：若△PAC為直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（2，6），P2（3，7）．

【解析】（1）由A（﹣1，b）在直線(xiàn)y=x+4上，求出b的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)的解析式，求出a的值；（2）由點(diǎn)P在一次函數(shù)y=x+4的圖象上得到P點(diǎn)的坐標(biāo)與C點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)式，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到PC的最大值；（3）由（2）中的P、C點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)式，再根據(jù)勾股定理求出m的值，求出若△PAC為直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).