Question

如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為. 在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG.

（1）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC，直接寫出∠FCD 的度數(shù)；

（3）如圖3，如果=45°，AB =2，AE=，求點(diǎn)G到BE的距離.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）45°或135°；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.

（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，據(jù)此求解即可.

（3）根據(jù)和求解即可.

試題解析：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.

∵四邊形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.

∴∠BAE=∠DAG..

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴BE=DG..

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，此時(shí)∠FCD 的度數(shù)為45°或135°.

（3）如圖3，連接GB、GE.

由已知α=45°，可知∠BAE=45°.

又∵GE為正方形AEFG的對(duì)角線， ∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.

∵，∴GE =8.

∴.

過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H.

∵AB=2，∴. ∴. .

設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h.

∴.

∴.

∴點(diǎn)G到BE的距離為.

考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用．