Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O與AC相切于點D．

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠DAO=∠MAO，

∴OM=OD．

∴AB與⊙O相切

（2）解：過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．

∵AB=AC，AO⊥BC，

∴O是BC的中點，

∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60°，

∴OM=OBsin60°= ，BM=OBcos60°=1．

∵BE⊥AB，

∴四邊形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM= ．

∵OF=OM= ，

由勾股定理得NF= ．

∴BF=BN+NF= + ．

【解析】（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可；（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，則四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數(shù)求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和解直角三角形的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．