Question

小麗將一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形紙片ABCD折疊，頂點(diǎn)A落到CD邊上的點(diǎn)M的位置，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G（如圖）．在折疊過(guò)程中，小麗發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上的任意位置時(shí)，（點(diǎn)C，D除外），△CMG的周長(zhǎng)總是相等的，那么△CMG的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．

Answer 1

設(shè)CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

=

CM

DE

=

MG

EM

，即

CG

2a-x

=

x

y

=

MG

2a-y

∴CG=

x(2a-x)

y

，MG=

x(2a-y)

y

△CMG的周長(zhǎng)為CM+CG+MG=

4ax-x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=

4ax-x2

y

=

4ay

y

=4a．
所以△CMG的周長(zhǎng)為4a．
故答案為：4a．