【題目】(12分)如圖,以△ABC中的AB、AC為邊分別向外作正方形ADEB、ACGF,

連接DC、BF。(相關(guān)知識(shí)鏈接:正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角)

(1)觀察圖形,利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)說明:

△ADC繞著點(diǎn)__ ___逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)___ __°得到△ABF。

(2)猜想:CD與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并證明你的猜想.

(3)若CD與BF相交于點(diǎn)M,求∠AMF的度數(shù)。

【答案】(1)△ADC繞著點(diǎn)__A _逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)_90_°得到△ABF;

(2)CD⊥BF,CD=BF,證明見解析;

(3)∠AMF=450

【解析】(1)因?yàn)锳D=AB,AC=AF,∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC,故△ABF可看作△ADC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到;
(2)要求兩條線段的長(zhǎng)度關(guān)系,把兩條線段放到兩個(gè)三角形中,利用三角形的全等求得兩條線段相等;根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及直角三角形的兩銳角互補(bǔ),即可證得∠NMC=90°,可證得證BF⊥CD;

(3)過點(diǎn)A作CD、BF的垂線段,即可求出∠AMF的度數(shù).
解:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得:AD=AB,AC=AF,
∠DAB=∠CAF=90°,
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC,
∴△DAC≌△BAF(SAS),
故△ADC可看作△ABF繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到.
故答案為:A逆時(shí)針,90°;

(2)DC=BF,DC⊥BF.
理由:在正方形ABDE中,AD=AB,∠DAB=90°,
又在正方形ACGF,AF=AC,∠FAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC=90°,
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠FAB=∠FAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠FAB,
在△DAC和△FAB中,

AD=AB,∠DAC=∠FAB,AC=AF,

∴△DAC≌△FAB(SAS),
∴DC=FB,∠AFN=∠ACD,
又∵在直角△ANF中,∠AFN+∠ANF=90°,∠ANF=∠CNM,
∴∠ACD+∠CNM=90°,
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD,
即CD與BF的數(shù)量關(guān)系是BF=CD和位置關(guān)系是BF⊥CD.

(3)過點(diǎn)A作CD、BF的垂線段,并證明相等

得出MA平分∠DMF,則∠AMF=45°. .

“點(diǎn)睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)圖形中兩個(gè)三角形的位置關(guān)系解題.

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