【題目】小明在一次數(shù)學興趣小組活動中,對一個數(shù)學問題作如下探究:

問題情境:如圖1,四邊形ABCD中,AD∥BC,點EDC邊的中點,連結AE并延長交BC的延長線于點F.求證:S四邊形ABCDSABF.(S表示面積)

問題遷移:如圖2,在已知銳角∠AOB內有一定點P.過點P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點MN.小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發(fā)現(xiàn),△MON的面積存在最小值.請問當直線MN在什么位置時,△MON的面積最小,并說明理由.

實際應用:如圖3,若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情,防疫部分計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站的一條直線MN為隔離線,建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB66,∠POB30OP4km,試求△MON的面積.(結果精確到0.1km2)(參考數(shù)據(jù):sin66≈0.91,tan66≈2.25≈1.73

拓展延伸:如圖4,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點AB、CP的坐標分別為(6,0)、(6,3)、、(4,2),過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交,將四邊形OABC分成兩個四邊形,求其中以點O為頂點的四邊形的面積的最大值.

【答案】問題情境:根據(jù)已知可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出SADE=SFCE,從而得出結論。

問題遷移:根據(jù)問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點PMN的中點時SMON最小,過點MMG∥OBEFG.由全等三角形的性質可以得出結論。

實際運用:。

拓展延伸:截得四邊形面積的最大值為10

【解析】

問題情境:根據(jù)已知可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出SADE=SFCE,從而得出結論。

問題遷移:根據(jù)問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點PMN的中點時SMON最小,過點MMG∥OBEFG.由全等三角形的性質可以得出結論。

實際運用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1,M1,再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結論。

拓展延伸:分情況討論當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N,延長OCAB交于點D,由條件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面積,再根據(jù)問題遷移的結論就可以求出最大值;

當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N,延長CBx軸于T,由B、C的坐標可得直線BC的解析式,就可以求出T的坐標,從而求出△OCT的面積,再由問題遷移的結論可以求出最大值,通過比較即可以求出結論。

解:問題情境:證明:∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE。

EDC邊的中點,∴DE=CE。

△ADE△FCE中,,

∴△ADE≌△FCEAAS)。∴SADE=SFCE。

∴S四邊形ABCE+SADE=S四邊形ABCE+SFCE,即S四邊形ABCD=SABF。

問題遷移:當直線旋轉到點PMN的中點時S△MON最小,理由如下:

如圖2,過點P的另一條直線EFOA、OB于點EF,

PFPE,過點MMG∥OBEFG,

由問題情境可以得出當PMN的中點時S四邊形MOFG=SMON

∵S四邊形MOFGSEOF,∴SMONSEOF。

當點PMN的中點時SMON最小。

實際運用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1,M1,

Rt△OPP1中,∵∠POB=30°,

∴PP1=OP=2OP1=2

由問題遷移的結論知,當PM=PN時,△MON的面積最小,

∴MM1=2PP1=4M1P1=P1N。

Rt△OMM1中,,即,

。

。

拓展延伸:如圖4,當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N,延長OC、AB交于點D,

∵C∴∠AOC=45°。∴AO=AD

∵A6,0),∴OA=6。∴AD=6。

。

由問題遷移的結論可知,當PN=PM時,△MND的面積最小,

四邊形ANMO的面積最大。

PP1⊥OAMM1⊥OA,垂足分別為P1,M1

∴M1P1=P1A=2。∴OM1=M1M=2,∴MN∥OA。

。

如圖5,當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N,延長CBx軸于T,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

∵C、B6,3),

,解得:。

直線BC的解析式為。

y=0時,x=9,∴T9,0)。

。

由問題遷移的結論可知,當PM=PN時,△MNT的面積最小,

四邊形CMNO的面積最大。

∴NP1=M1P1,MM1=2PP1=4。,解得x=5∴M5,4)。

∴OM1=5

∵P4,2),∴OP1=4。∴P1M1=NP1=1。∴ON=3∴NT=6。

。

。

綜上所述:截得四邊形面積的最大值為10。

練習冊系列答案
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