【題目】已知:在平面直角坐標系中,拋物線)交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,且對稱軸為直線x=―2 .

(1)求該拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)若點P(0,t)是y軸上的一個動點,請進行如下探究:

探究一:如圖1,設△PAD的面積為S,令Wt·S,當0<t<4時,W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此時t的值;如果沒有,說明理由;

探究二:如圖2,是否存在以PAD為頂點的三角形與RtAOC相似?如果存在,求點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

圖1 圖2

【答案】(1)yx2x+3.D(-2,4).(2)當t=3時,W有最大值,W最大=18.存在.只存在一點P(0,2)使RtADP與RtAOC相似.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸是直線x=,且已知拋物線)的對稱軸為直線x=―2,故,可求出 a的值,即可寫出拋物線的解析式和頂點坐標;(2)探究一:由拋物線的解析式可求x、y軸的交點的坐標,作軸于M,則,點,由可得,,當時,W有最大值,;探究二:分三種情況分析:時,作軸于E,則,則,則,,又因為軸,軸,,則,,,則此時有,又因為,即,此時,則,所以當時,存在點P1,使,此時P1點的坐標為(0,2);時,則,,則,又因為,則,所以不相似,此時點P2不存在;時,以AD為直徑作,則的半徑,圓心O1到y(tǒng)軸的距離,因為,所以與y軸相離,不存在點P3,使,
所以綜合可得,只存在一點使相似。

試題解析:

(1)拋物線的對稱軸為直線,
,

,
;

(2)探究一:當時,W有最大值,
拋物線交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,
,
,
時,作軸于M,如圖所示:


,

,





時,W有最大值,,
探究二:存在,分三種情況:
時,作軸于E,如圖所示:

,

,

軸,軸,
,
,

,,
此時,又因為,

,
,
時,存在點P1,使,此時P1點的坐標為(0,2);
時,則,
,
,
,
,
不相似,此時點P2不存在;
時,以AD為直徑作,則的半徑,圓心O1到y(tǒng)軸的距離,,
與y軸相離,不存在點P3,使,
綜上所述,只存在一點使相似。

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