如圖是一張直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.折疊該紙片,折痕與邊OB交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.
(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,求OC的長;
(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′,設(shè)OB′=x,OC=y,求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;
(3)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B″,是否存在B″D∥OB?若存在,求此時滿足條件的OC的長;若不存在,請說明理由.
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分析:(1)連AC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CA=CB,設(shè)OC=x,則BC=AC=4-x,在Rt△AOC中利用勾股定理可計(jì)算出x的值;
(2)連B′C,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CB′=CB=4-y,在Rt△B′OC中利用勾股定理即可得到x與y的函數(shù)關(guān)系式;
(3)連B″C,BB″交CD于E,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CB″=CB,DB=DB″,EB=EB″,由B″D∥OB,易得△BCE≌△B″DE,則EC=ED,得到四邊形BCB″D是菱形,設(shè)OB″=x,OC=y,由(1)得y=-
1
8
x2+2①.又B″D∥OB,得到DB:OB=AB″:AO,即(4-y):4=(2-x):2,即y=2x②,聯(lián)立①②即可得到滿足條件的OC的長.
解答:解:(1)如圖1∠AOB=90°,OA=2,OB=4.連AC,
∵折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,
∴CA=CB,
設(shè)OC=x,則BC=AC=4-x,
在Rt△AOC中精英家教網(wǎng),OA2+OC2=AC2,即22+x2=(4-x)2,解得x=
3
2

∴OC的長為
3
2
;

(2)如圖2,連B′C,
∵折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′,
∴CB′=CB,
∴CB′=CB=4-y,
在Rt△B′OC中,OB′2+OC2=B′C2,即x2+y2=(4-y)2,整理得y=-
1
8
x2+2.
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-
1
8
x2+2(0≤x≤2);

(3)存在.
如圖3,連B″C,BB″交CD于E,
∵折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B″,
∴CB″=CB,DB=DB″,EB=EB″,
由B″D∥OB,易得△BCE≌△B″DE,
∴EC=ED,
∴四邊形BCB″D是菱形,
∴DB″=B″C,
設(shè)OB″=x,OC=y,由(1)得y=-
1
8
x2+2①.
∵B″D∥OB,
∴DB:OB=AB″:AO,即(4-y):4=(2-x):2,
∴y=2x②,
由①②得,2x=-
1
8
x2+2,解得x=±4
5
-8,
∴滿足條件的OC的長為8
5
-16.
點(diǎn)評:本題考查了折疊的性質(zhì):折疊前后兩圖形全等,即對應(yīng)角相等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分.也考查了勾股定理.
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A、4cmB、5cmC、6cmD、10cm

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3
5
,現(xiàn)將△ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,那么DE的長等于
15
4
cm
15
4
cm

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15
4
cm
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4
cm

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