Question

【題目】如圖，點O為直線AB外一定點，點P線段AB上一動點，在直線OP右側(cè)作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，當(dāng)點P從點A運動到點B時，點Q運動的路徑長是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先根據(jù)題意可知所有的Rt△OPQ都是相似的，從而得出點Q實質(zhì)就是在一條豎直的直線上運動，據(jù)此我們假設(shè)點O在點A的正上方，且設(shè)點O（0，3），點A（0，0），點B（3，0），點P（xp，0），其中0≤xp≤3，通過待定系數(shù)法求出直線OP的解析式為：，由此得出直線OQ的解析式為：，據(jù)此利用特殊角的三角函數(shù)值得出，最后在此基礎(chǔ)上作進一步分析即可.

由題意得：所有的Rt△OPQ都是相似的，

∴點Q實質(zhì)就是在一條豎直的直線上運動，

∴假設(shè)點O在點A的正上方，再設(shè)點O（0，3），點A（0，0），點B（3，0），點P（xp，0），其中0≤xp≤3，

∴設(shè)直線OP的解析式為：，

則，

∴，

∴直線OP的解析式為：，

∵OP⊥OQ，

∴直線OQ的解析式為：，

∴點Q（xQ，），

∴(tan30°)2=，

∴

∴xQ=，yQ=，

又∵0≤xp≤3，

∴3≤yQ≤3+，

∴點Q運動的長度為，

故答案為：．