【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(﹣1,4),且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(如圖),A點在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C(﹣3,0).
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方),過N作NP⊥x軸,垂足為點P,交AB于點M,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,點N在何位置時,BM與NC相互垂直平分?并求出所有滿足條件的N點的坐標.
【答案】(1)y=﹣﹣x+1;(2);(3)當N(﹣1,4)時,BM和NC互相垂直平分.
【解析】
試題分析:方法一:
(1)首先求得A、B的坐標,然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;
(2)設M的橫坐標是x,則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式,即可利用x表示出M、N的坐標,利用x表示出MN的長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;
(3)BM與NC互相垂直平分,即四邊形BCMN是菱形,則BC=MC,據(jù)此即可列方程,求得x的值,從而得到N的坐標.
方法二:
(1)略.
(2)求出點M,N的參數(shù)坐標,并得到MN的長度表達式,從而求出MN的最大值.
(3)因為BM與NC相互垂直平分,所以四邊形BCMN為菱形,因為MN∥BC,所以只需MN=BC可得出四邊形BCMN為平行四邊形,再利用NC⊥BM進行求解.
方法一:
解:(1)由直線y=﹣x+1可知A(0,1),B(﹣3,),又點(﹣1,4)經(jīng)過二次函數(shù),
根據(jù)題意得:,
解得:,
則二次函數(shù)的解析式是:y=﹣﹣x+1;
(2)設N(x,﹣x2﹣x+1),
則M(x,﹣x+1),P(x,0).
∴MN=PN﹣PM
=﹣x2﹣x+1﹣(﹣x+1)
=﹣x2﹣x
=﹣(x+)2+,
則當x=﹣時,MN的最大值為;
(3)連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分,
即四邊形BCMN是菱形,
則MN=BC,且BC=MC,
即﹣x2﹣x=,
且(﹣x+1)2+(x+3)2=,
解x2+3x+2=0,得:x=﹣1或x=﹣2(舍去).
故當N(﹣1,4)時,BM和NC互相垂直平分.
方法二:
(1)略.
(2)設N(t,﹣),
∴M(t,﹣t+1),
∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1,
∴MN=﹣,
當t=﹣時,MN有最大值,MN=.
(3)若BM與NC相互垂直平分,則四邊形BCMN為菱形.
∴NC⊥BM且MN=BC=,
即﹣=,
∴t1=﹣1,t2=﹣2,
①t1=﹣1,N(﹣1,4),C(﹣3,0),
∴KNC==2,
∵KAB=﹣,
∴KNC×KAB=﹣1,
∴NC⊥BM.
②t2=﹣2,N(﹣2,),C(﹣3,0),
∴KNC==,KAB=﹣,
∴KNC×KAB≠﹣1,此時NC與BM不垂直.
∴滿足題意的N點坐標只有一個,N(﹣1,4).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D,點E為BC的中點,連接DE.
(1)求證:DE是半圓⊙O的切線.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對角線的長分別為2和5,P是對角線AC上任一點(點P不與點A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,則陰影部分的面積是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將點A(1,3)向左平移2個單位,再向下平移4個單位得到點B,則點B的坐標為( )
A. (-2,-1) B. (-1,0)
C. (-1,-1) D. (-2,0)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,OE垂直于弦AB,垂足為點D,交⊙O于點C,∠EAC=∠CAB.
(1)求證:直線AE是⊙O的切線;
(2)若AB=8,sin∠E=,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三個內(nèi)角互不相等的△ABC中,最小的內(nèi)角為∠A,則在下列四個度數(shù)中,∠A最大可取( )
A. 30° B. 59° C. 60° D. 89°
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