Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng)，連接交
于點(diǎn)．

⑴試證明：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有△≌△；
⑵當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△的面積是正方形面積的；
⑶若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再繼續(xù)在上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△恰為等腰三角形．

Answer 1

⑴證明：在正方形中，無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有
= ∠=∠ = ∴△≌△
⑵△的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，
過(guò)點(diǎn)Q作⊥于,⊥于，

則 =
==           ∴= 
由△ ∽△得       解得
∴時(shí)，△的面積是正方形面積的
⑶若△是等腰三角形，則有 =或=或=
①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，由四邊形是正方形知 =
此時(shí)△是等腰三角形
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)也重合，此時(shí)=, △是等腰三角形
③：如圖，

設(shè)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)到時(shí)，有=
∵ ∥      ∴∠=∠
又∵∠=∠ ∠=∠
∴∠=∠  ∴ ==
∵=   =  =4  ∴
即當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形.

（1）兩邊一角 AQ="AQ" ，AB=AD=4，∠DAQ=∠BAQ=45度所以?xún)蓚�(gè)三角形全等。
（2）做QE垂直于AD，△DQE相似于△DPA，△ADQ面積=ADQE/2，正方形面積=ADAB，△ ADQ的面積是正方形面積的1/6，則QE=AB/3=4/3，△AQE是等腰直角三角形，則AQ=QE=4/3，DQ=AD-AQ=8/3，△DQE相似△DPA中， DQ/AD=QE/AP，帶入數(shù)據(jù)得：8/3 /4=" 4/3" /AP，故AP=2，因?yàn)锳B="4" 則P點(diǎn)正好運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)
（3）假設(shè)△ADQ恰好為等腰三角形：:P在 ABC上運(yùn)動(dòng)首先當(dāng)AD=QD=4時(shí) Q與C點(diǎn)剛好重合所以P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)△ADQ為等腰三角形；當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，AQ="QD" △ADQ為等腰直角三角形；當(dāng)AD=AQ=4時(shí)，△ADQ與△CPQ相似，則PC=CQ=AC-AQ= -4，則P運(yùn)動(dòng)到距離C點(diǎn) -4時(shí)，△ADQ為等腰三角形