【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE⊥BD，垂足為點(diǎn)F，∠DAE＝2∠BAE．

（1）求證：BF：DF＝1：3；

（2）若四邊形EFDC的面積為11，求△CEF的面積．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）2.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到∠DAE＝60°，∠BAE＝30°，又AE⊥BD，得到， ，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件得到△BEF∽△BDC，求得∠ABF＝60°，得到∠FBE＝30°，求得，

，由于BD＝4BF，得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∠DAE＝2∠BAE，

∴∠DAE＝60°，∠BAE＝30°，

又∵AE⊥BD，

∴，，

∴BF：DF＝1：3；

（2）解：∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠DCB，

∴△BEF∽△BDC，

∵∠BAE＝30°，

∴∠ABF＝60°，

∴∠FBE＝30°，

∴，

∴，

∵BD＝4BF，

∴，

∴，

∵S四邊形EFDC＝11，

∴S△BEF＝1，

∵，，

∴，

∴，

∴S△CEF＝1×2＝2．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過(guò)程.

已知：如圖1，和外的一點(diǎn).

求作：過(guò)點(diǎn)作的切線.

作法：如圖2，

①連接；

②作線段的垂直平分線，直線交于；

③以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)和；

④作直線和.

則，就是所求作的的切線.

根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：

（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形；

（2）完成下面的證明：

證明：連接，，

∵由作圖可知是的直徑，

∴（______）（填依據(jù)），

∴，，

又∵和是的半徑，

∴，就是的切線（______）（填依據(jù)）.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)y=（k是常數(shù)）．

（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求k的取值范圍；

（2）若點(diǎn)（1，k）在某反比例函數(shù)圖象上，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=都是y隨x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件及x的取值范圍；

（3）若拋物線y=與x軸交于A（，0）、B（，0）兩點(diǎn)，且＜，=34，若與y軸不平行的直線y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），且與拋物線交于（，）、（，）兩點(diǎn)，試探究是否為定值，并寫出探究過(guò)程．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值；

（3）在（2）的條件下，拋物線上點(diǎn)D（不與C重合）的縱坐標(biāo)為m的最大值，在x軸上找一點(diǎn)E，使點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知矩形，，，為邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，以為直徑作分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，．

（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：．

（2）若為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，設(shè)線段，交于點(diǎn)，求與的面積之比．

②在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)時(shí)(不包括邊界)，則的范圍是________(直接寫出答案)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4cm．動(dòng)點(diǎn)E在射線BC上勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．連接AE，并將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至AF，連接BF．

（1）試說(shuō)明無(wú)論t為何值，△ABF的面積始終為定值，并求出該定值；

（2）如圖2，連接EF，BD，交于點(diǎn)H，BD與AE交于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△HEG為直角三角形？

（3）如圖3、當(dāng)F、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，求tan∠FEB的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，且，．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)是拋物線第一象限上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作直線軸，在上取一點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），連接，使，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、、．若時(shí)，求值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】問(wèn)題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，∠BAD=∠BAC=60°，于是 = =；

遷移應(yīng)用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．

①求證：△ADB≌△AEC；

②請(qǐng)直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；

拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．

①證明△CEF是等邊三角形；

②若AE=5，CE=2，求BF的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖①，當(dāng)為何值時(shí)，；

（2）如圖②，當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形；

（3）如圖③，作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)為何值時(shí)，與相似？

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