Question

【題目】直線l1交x軸于點(diǎn)A（6，0），交y軸于B（0，6）．

（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交與C點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo)及l2的解析式；

（2）在直線l1上找點(diǎn)M，使得以M、A、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）C（2，0），y＝﹣x+6；（2）點(diǎn)M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．

【解析】

（1）由三角函數(shù)可求∠OAB＝30°，由折疊的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．

解：∵點(diǎn)A（6，0），交y軸于B（0，6）．

∴OA＝6，OB＝6，

∴tan∠OAB＝，

∴∠OAB＝30°，

∴∠OBA＝60°，

∵折疊△AOB，

∴∠OBC＝∠ABC＝30°，

∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，

∴OC＝2，

∴點(diǎn)C（2，0），

設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+b，

解得：

∴直線BC解析式為：y＝﹣x+6；

（2）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，

由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，

∴CM＝AC，

∴△ACM是等腰三角形，

∴當(dāng)M為（0，6）時(shí)，△ACM是等腰三角形，

∵OC＝2，OA＝6，

∴AC＝4，

若AM＝AC＝4，

如圖1：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC，

∵∠MAH＝30°，

∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，

∴OH＝6﹣6或6+6，

∴點(diǎn)M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）

若AM＝MC，

如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC，

∵AM＝MC，MH⊥AC，

∴AH＝CH＝2，

∴OC＝4，

∵∠MAH＝30°，

∴AH＝MH，

∴MH＝2，

∴點(diǎn)M（4，2），

綜上所述：點(diǎn)M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．