【題目】如圖,二次函數(shù)yx24x3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)y軸上是否存在一點(diǎn)P,使PBC為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)MN同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),問點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)MNB的面積最大,試求出最大面積.

    (備用圖)

【答案】見解析

【解析】試題分析(1)已知拋物線的一般式,令y=0,可得關(guān)于x的方程,解方程可得拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),通過配方可得到拋物線的對(duì)稱軸,從而可得點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)先求出BC的長,然后分情況進(jìn)行討論即可得;

(3)設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,用含t的式子先表示出BMDN的長,然后利用三角形的面積公式表示出△MNB的面積,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

試題解析(1)當(dāng)y=0時(shí),x2-4x+3=0.

解得x1=1,x2=3,

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0);

(2)存在一點(diǎn)P,使△PBC為等腰三角形,

當(dāng)x=0加法,y=x2-4x+3=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

BC=,

點(diǎn)P中y軸上,當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況討論,點(diǎn)P位置如圖,

當(dāng)CP=CB時(shí)PC3,

OPOCPC33 或OP=PC-OC=33.

P1(0,33),P2(0,33)

當(dāng)BP=BC時(shí),OP=OC=3,

∴P3(0,-3);

③當(dāng)PB=PC時(shí),

∵OC=OB=3,

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合.

∴P4(0,0),

綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(033)或(0,33)或(0,-3)或(0,0)時(shí)PBC為等腰三角形;

(3)設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,

∵AB=2,∴BM=2-t,DN=2t,

SMNB==-t2+2t=-(t-1)2+1,

∴當(dāng)t=1時(shí),△MNB的面積最大,最大面積為1,

此時(shí)M(2,0),N(2,2)或(2,-2),

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到(2,0),點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到(2,2)或(2,-2)時(shí),△MNB的面積最大,最大面積為1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)E,F(xiàn)分別是拋物線對(duì)稱軸CH上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F上方),且EF=1,求使四邊形BDEF的周長最小時(shí)的點(diǎn)E,F(xiàn)坐標(biāo)及最小值;

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