Question

【題目】如圖，已知拋物線C1：y＝a（x+2）2﹣5的頂點(diǎn)為P，與x軸相較于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）

（1）求拋物線C1的函數(shù)解析式；

（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②求拋物線C3的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線C3與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，在直線PD的上方的拋物線C3上，是否存在點(diǎn)Q使得△PDQ的面積最大？若存在，求出當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為何值時(shí)△PDQ面積最大，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1的表達(dá)式為：y＝（x+2）2﹣5；

（2）①點(diǎn)M（2，5）；②拋物線C3表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+5；

（3）S有最大值，此時(shí)x＝；Q的橫坐標(biāo)為．

【解析】

（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C1的表達(dá)式并解得：a＝，即可求解；

（2）點(diǎn)P（2，5），則點(diǎn)M（2，5），則拋物線C3表達(dá)式中的a值為，點(diǎn)M（2，5），即可求解；

（3）△PDQ的面積S＝×QH×（xD﹣xP）＝（5+2）[﹣（x﹣2）2+5﹣x+]＝﹣x2+x+，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C1的表達(dá)式并解得：a＝，

故拋物線C1的表達(dá)式為：y＝（x+2）2﹣5；

（2）①∵點(diǎn)P（﹣2，﹣5），則點(diǎn)M（2，5）；

②拋物線C3表達(dá)式中的a值為﹣，點(diǎn)M（2，5），

故拋物線C3表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+5；

（3）y＝﹣（x﹣2）2+5，令y＝0，則x＝﹣1或5，故點(diǎn)D（5，0），

設(shè)PD直線為y=kx+b（k≠0）

將點(diǎn)P（﹣2，﹣5）、D（5，0）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得

解得：

∴直線PD的表達(dá)式為：y＝x﹣，

過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線PD于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)Q[x，﹣（x﹣2）2+5]，則點(diǎn)H（x，x﹣），

∴△PDQ的面積S＝×QH×（xD﹣xP）

＝（5+2）[﹣（x﹣2）2+5﹣x+]

＝﹣x2+x+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，此時(shí)x＝；

Q的橫坐標(biāo)為．