Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，于，于．無論的位置如何變化，線段的最小值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

當(dāng)AP⊥BC時(shí),線段DE的值最小,利用四點(diǎn)共圓的判定可得A、E、P、D四點(diǎn)共圓且直徑為AP得∠AED=∠C=45°,有一公共角,根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似得△AED∽△ACB則AD=2x,表示出AE和AC的長(zhǎng),求出AE與AC的比代入比例式中可求出DE的值

解:當(dāng)AP⊥BC時(shí)線段DE的值最小

如圖1,

∵PE⊥AB,PD⊥AC,

∴∠AEP=∠ADP=90°,

∴∠AEP+∠ADP=180°,即A、E、P、D四點(diǎn)共圓且直徑為AP

在Rt△PDC中,∠C=45°,

∴△PDC是等腰直角三角形,∠APD=45°,

∴△APD也是等腰直角三角形,∠PAD=45°,

∴∠PED=∠PAD=45°,

∴∠AED=45°,

∴∠AED=∠C=45°,

∵∠EAD=∠CAB,

∴△AED∽△ACB,

∴,

設(shè)AD=2x,則PD=DC=2x,AP=2x,

如圖2

取AP的中點(diǎn)O連接EO則AO=OE=OP=x

∵∠EAP=∠BAC-∠PAD=60°-45°=15°,

∴∠EOP=2∠EAO=30°

過E作EM⊥AP于M則EM=x

cos30°=,

∴OM=x·=x,

∴AM=x,

由勾股定理得:AE=,

∴=,

∴ED=

∴B選項(xiàng)是正確的