Question

【題目】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x．

（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？

（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】解：（1）∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴△AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴AN＝x．

∴=．（0＜＜4）

（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO="OD" =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

由（1）知 △AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴，

∴．

過M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則．

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA．

∴．

∴，

．

∴x＝．

∴ 當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．

（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴△AMO ∽△ABP．

∴． AM＝MB＝2．

故以下分兩種情況討論：

① 當(dāng)0＜≤2時(shí)，．

② 當(dāng)2＜＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F．

∵ 四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN＝BM＝4－x．

∴．

又△PEF ∽△ACB．

∴．

∴．

＝．

【解析】

解：（1）∵M(jìn)N∥BC， ∴△AMN∽△ABC．

∴， 即．

∴ AN＝x．

∴．……………………………… 2分

（2）如圖2，作OD⊥BC于點(diǎn)D，當(dāng)OD =MN時(shí)，⊙O與直線BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．

由（1）知 △AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴ MN=．

過M點(diǎn)作ME⊥BC 于點(diǎn)E，

∵sinB=，∴．

∴．

∴，解得．

∴當(dāng)時(shí)，⊙O與直線BC相切． ………………… 4分

（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，如圖3，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵ MN∥BC，

∴，即 AM=MB=4．

故分以下兩種情況討論：

①當(dāng)0＜≤4時(shí)，．

∴ 當(dāng)=4時(shí)，．……………… 5分

②當(dāng)4＜＜8時(shí)，如圖4，設(shè)PM、PN分別交BC于E、F．

∵ 四邊形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN=AM=x．

又∵ MN∥BC， ∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN=BM=8－x．

∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8．

又△PEF∽△ACB，∴．

∴．

∴＝ ．

∵ 二次項(xiàng)系數(shù)，且當(dāng)時(shí)，滿足4＜＜8，

∴．…………………………………………………………………………… 6分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，值最大，最大值是8． …………………… 7分